Question

1．如图所示，质量M=4kg、高度为h=1.25m的小车放在水平光滑的平面上，以3m/s速度匀速运动，某时刻在小车前端轻轻地放上一个大小不计，质量为m=2kg的小物块，物块与小车间的动摩擦因数为0.1．求：（取g=10m/s²）
（1）为使小物块滑离小车，小车最大长度；
（2）若小车长度l=1.5m，小物块滑离小车落地瞬时，小车与物块的水平距离为多少？

Answer 1

分析 （1）小物块与小车组成的系统所受的合外力为零，总动量守恒，由动量守恒定律求出两者相对静止时的共同速度，由能量守恒定律求出两者的相对位移大小，即为小车最大长度．
（2）根据动量守恒和能量守恒，求出小物块滑离小车时的速度．小物块滑离小车后做平抛运动，由高度求出平抛运动的时间，再由位移公式和几何关系求解．

解答 解：（1）小物块与小车组成的系统所受的合外力为零，总动量守恒，取水平向右为正方向，根据动量守恒定律得：
 Mv₀=（M+m）v
解得：v=$\frac{M{v}_{0}}{M+m}$=$\frac{4×3}{4+2}$=2m/s
根据系统的能量守恒得
  μmgL=$\frac{1}{2}M{v}_{0}^{2}$-$\frac{1}{2}（M+m）{v}^{2}$
解得 L=3m
所以为使小物块滑离小车，小车最大长度为3m．
（2）设小物块滑离小车落地瞬时，物块与小车的速度分别为v₁和v₂．
根据动量守恒定律和能量守恒定律得：
  Mv₀=mv₁+Mv₂；
  μmgl=$\frac{1}{2}M{v}_{0}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$-$\frac{1}{2}M{v}_{2}^{2}$
代入解得 v₁=$\frac{4+\sqrt{22}}{2}$m/s，v₂=$\frac{8-\sqrt{22}}{4}$m/s（另一组解不合理，舍去）
小物块滑离小车后做平抛运动，则 h=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$得
  t=$\sqrt{\frac{2h}{g}}$=$\sqrt{\frac{2×1.25}{10}}$=0.5s
故小物块滑离小车落地瞬时，小车与物块的水平距离为 
△x=（v₁-v₂）t=$\frac{3}{8}\sqrt{22}$m
答：
（1）为使小物块滑离小车，小车最大长度为3m．
（2）小物块滑离小车落地瞬时，小车与物块的水平距离为$\frac{3}{8}\sqrt{22}$m．

点评 本题是物块在小车上滑动的类型，根据系统的动量守恒和能量守恒研究，也可以根据牛顿第二定律及运动学基本公式结合求解．