Question

2．“太空粒子探测器”是由加速、偏转和收集三部分组成．其原理可简化如下：如图所示，辐射状的加速电场区域边界为两个同心平行半圆弧面，圆心为M，外圆弧面AB与内圆弧面CD的电势差为U．图中偏转磁场分布在以P为圆心，半径为3R的圆周内，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向外；内有半径为R的圆盘（圆心在P处）作为收集粒子的装置，粒子碰到圆盘边缘即被吸收．假设太空中漂浮着质量为m，电量为q的带正电粒子，它们能均匀地吸附到AB圆弧面上，并被加速电场从静止开始加速，从M点以某一速率向右侧各个方向射人偏转磁场，不计粒子间的相互作用和其他星球对粒子引力的影响．
（1）粒子到达M点的速率？
（2）若电势差U=$\frac{2q{B}^{2}{R}^{2}}{m}$，则粒子从M点到达圆盘的最短时间是多少？

Answer 1

分析 （1）在电场中电场力做功，由动能定理可求得粒子的速度；
（2）由已知条件可求得速度大小，再由洛仑兹力充当向心力可求得半径；根据几何关系可确定最少时间．

解答 解：（1）设粒子到达M点的速度为v，由动能定理：
qU=$\frac{1}{2}$mv²
解得：
v=$\sqrt{\frac{2qU}{m}}$
（2）将U=$\frac{2q{B}^{2}{R}^{2}}{m}$代入，有：
v=$\sqrt{\frac{2qU}{m}}$=$\frac{2qBR}{m}$
设该粒子轨迹半径为r，根据qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$得：r=2R
若要时间最短，则粒子在磁场中运动的弦长最短，故从M斜向上射入，到达圆盘M点的粒子用时最短；
由几何关系可知：ME=E0=0M=2R，故∠M0E=60°，得t_min=$\frac{60°}{360°}$T
由于T=$\frac{2πm}{qB}$，故t_min=$\frac{πm}{3qB}$；
答：（1）粒子到达M点的速率为$\sqrt{\frac{2qU}{m}}$；
（2）若电势差U=$\frac{2q{B}^{2}{R}^{2}}{m}$，则粒子从M点到达圆盘的最短时间是$\frac{πm}{3qB}$．

点评 本题考查带电粒子在磁场中运动，此类问题解题的关键在于明确粒子的运动情况，注意应用几何关系确定圆心和半径．