Question

10．如图所示，两根等高光滑的四分之一圆弧形轨道与一足够长水平轨道相连，圆弧的半径为R₀、轨道间距为L₁=1m，轨道电阻不计．水平轨道处在竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度为B₁=1T，圆弧轨道处于圆心轴线上均匀向外辐射状的磁场中，如图所示．在轨道上有两长度稍大于L₁、质量均为m=2kg、阻值均为R=0.5Ω的金属棒a、b，金属棒b通过跨过定滑轮的绝缘细线与一质量为M=1kg、边长为L₂=0.2m、电阻r=0.05Ω的正方形金属线框相连．金属棒a从轨道最高处开始，在外力作用下以速度v₀=5m/s沿轨道做匀速圆周运动到最低点MN处，在这一过程中金属棒b恰好保持静止．当金属棒a到达最低点MN处被卡住，此后金属线框开始下落，刚好能匀速进入下方h=1m处的水平匀强磁场B₃中，B₃=$\sqrt{5}$T．已知磁场高度H＞L₂．忽略一切摩擦阻力，重力加速度为g=10m/s²．求：
（1）辐射磁场在圆弧处磁感应强度B₂的大小；
（2）从金属线框开始下落到进入磁场前，金属棒a上产生的焦耳热Q；
（3）若在线框完全进入磁场时剪断细线，线框在完全离开磁场B₃时刚好又达到匀速，已知线框离开磁场过程中产生的焦耳热为Q₁=10.875J，则磁场的高低H为多少．

Answer 1

分析 （1）金属棒b做匀速直线运动，受拉力和安培力平衡，根据平衡条件列式；金属棒a做切割磁感线运动，根据切割公式和安培力列式；最后联立求解；
（2）从金属线框开始下落到进入磁场前，根据能量守恒定律列式；金属框刚好匀速进入磁场中，受重力和安培力平衡，根据平衡条件、切割公式和安培力公式列式后联立求解；
（3）从线框完全进入磁场到完全出磁场过程根据能量守恒定律列式；最后匀速离开磁场，根据平衡条件求解安培力，根据安培力公式、切割公式和欧姆定律求解末速度．

解答 解：（1）对金属棒b，由受力平衡，有：Mg=B₁IL₁，
右ab金属棒与导轨组成闭合回路，有：
I=$\frac{{{B_2}{L_1}{v_0}}}{2R}$，
联立方程，代入数值解得：
B₂=2T；
（2）根据能量守恒定律，有：
$Mgh=\frac{1}{2}M{v^2}+\frac{1}{2}m{v^2}+2Q$
线框进入磁场的瞬间，由受力平衡，得：
Mg=B₁I₁L₁+B₃I₂L₂
其中：${I_1}=\frac{{{B_1}{L_1}v}}{2R}$
${I}_{2}=\frac{{B}_{3}{L}_{2}v′}{r}$，
而v′=$\sqrt{2gh}$
联立方程，代入数值解得：
Q=2J
（3）从线框完全进入磁场到完全出磁场，有：
$MgH=\frac{1}{2}Mv_1^2-\frac{1}{2}M{v^2}+{Q_1}$
在完全出磁场的瞬间，由受力平衡，得：
Mg=B₃I₃L₂
其中：${I_3}=\frac{{{B_3}{L_2}{v_1}}}{r}$
联立方程，代入数据解得：
H=1.2m
答：（1）辐射磁场在圆弧处磁感应强度B₂的大小为2T；
（2）从金属线框开始下落到进入磁场前，金属棒a上产生的焦耳热Q为2J；
（3）磁场的高低H为1.2m．

点评 本题是力电综合问题，关键是明确金属棒、金属框的受力情况和运动情况，根据能量守恒定律、安培力公式、切割公式和欧姆定律多次列式求解，不难．