Question

14．空间有两个长为l间距为d的平行金属板AB水平放置，在两板间施加电压U_AB，如图，平行板的右侧有一竖直的虚线PQ，且平行板右侧与PQ间无场区，PQ右侧的O点有一固定的点电荷和一接收屏MN，且O点和接收屏MN均在平行板的中轴线上，现有一质量为m，带电量为q的粒子，从平行板左侧中央位置以v₀的速度进入平行板，最终带电粒子以与离开平行板等大的速率垂直MN被接收．已知l=8cm，d=8cm，U_AB=300V，q=10^-10C，m=10^-20kg，L=12cm，v₀=2×10⁶m/s，静电力常量为k=9×10⁹N•m²/C²，忽略粒子的重力，求：
（1）粒子到达虚线PQ时，距离中轴线的间距多大？
（2）点O到PQ的间距和固定在O点电荷的电量．

Answer 1

分析 （1）粒子在平行板中做类平抛运动，根据运动学公式求得离开平行板的速度和偏转量，根据几何关系求得到中轴线的距离；
（2）粒子以与离开平行板等大的速率垂直MN被接收，故粒子乙点电荷为圆心，由几何关系求的距离，库仑力提供向心力即可求得电荷

解答 解：（1）粒子在平行板间的加速度为$a=\frac{q{U}_{AB}}{md}=\frac{1{0}^{-10}×300}{1{0}^{-20}×0.08}m/{s}^{2}=3.75×1{0}^{13}m/{s}^{2}$
通过平行板的时间为t=$\frac{l}{{v}_{0}}=\frac{0.08}{2×1{0}^{6}}s=4×1{0}^{-8}s$
${v}_{y}=at=1.5×1{0}^{6}m/s$
离开平行板的速度为v=$\sqrt{{v}_{0}^{2}{+v}_{y}^{2}}=2.5×1{0}^{6}m/s$
与水平方向的夹角为$tanθ=\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}=\frac{3}{4}$
粒子在平行板中的偏转量为$y=\frac{1}{2}a{t}^{2}=\frac{1}{2}×3.75×1{0}^{13}×（4×1{0}^{-8}）^{2}$m=0.03m
由几何关系可知$\frac{\frac{l}{2}+L}{\frac{l}{2}}=\frac{Y}{y}$
解得Y=0.12m
（2）带电粒子以与离开平行板等大的速率垂直MN被接收，故粒子静茹点电荷区域后粒子力点电荷为圆心做匀速圆周运动，
如图：
有几何关系可知$d′=Ytanθ=0.03×\frac{3}{4}m=0.0225m$
r=$\sqrt{{Y}^{2}+d{′}^{2}}=\sqrt{0.0{3}^{2}+0.022{5}^{2}}m=0.075m$
$k\frac{Qq}{{r}^{2}}=\frac{m{v}^{2}}{r}$
解得Q=5.2×10^-9C
答：（1）粒子到达虚线PQ时，距离中轴线的间距为0.03m
（2）点O到PQ的间距为0.0225m固定在O点电荷的电量5.2×10^-9C．

点评 本题主要考查了粒子在平行板中做类平抛运动，根据运动学公式求的，抓住粒子以点电荷为圆心做匀速圆周运动，库仑力提供向心力即可