Question

（2006?静安区模拟）如图所示，两光滑平行导轨MN、PQ水平放置在匀强磁场中，磁场与导轨所在平面垂直，金属棒ab可沿导轨自由移动，导轨左端M、P接一定值电阻，金属棒和导轨电阻均不计，现将金属棒沿导轨由静止向右拉，若保持拉力F恒定，经时间t₁后速度为v，加速度为a₁，最终以速度2v做匀速运动；若保持拉力的功率不变，经过时间t₂后，速度为v，加速度为a₂，最终也以2v做匀速运动，求a₁和a₂的比值？

Answer 1

分析：根据E=BIL，I=

E

R

，E=BLv推导出棒的速度为v和2v时所受的安培力大小．由于两种情况下棒最终都做速度为2v的匀速运动，拉力与安培力平衡，根据牛顿第二定律和功率公式P=Fv求解加速度之比．

解答：解：棒的速度为v时，所受的安培力为 F_1⁼BLI₁=

BLE1

R

=

BL?BLv

R

=

B2L2v

R

    
棒的速度为2v时，所受的安培力为 F₂=BLI₂₌

BLE2

R

=

BL?BL?2v

R

=

B2L22v

R

  
两种情况下，棒最终做匀速运动的速度均为2v，对应此时的拉力均为：
  F=F₂=

B2L22v

R

                          
（1）若F恒定，ab棒速度为v时的加速度为：a₁=

F-F1

m

  
解得：a₁=

B2L2v

mR

                        
（2）若P恒定，则得拉力的功率为 P=F?2v=

4B2L2v2

R

，
ab棒速度为v时，拉力为 F?=

p

v

=

4B2L2v

R

此时ab棒的加速度为：a₂=

F′-F1

m

          
解得：a₂=

3B2L2v

mR

           
∴

a1

a2

=

1

3

   
 答：a₁和a₂的比值为

a1

a2

=

1

3

．

点评：本题可以和机车启动的两种方式进行类比解答，只不过机车启动时阻力不变，而该题中阻力为安培力，是不断变化的．推导出安培力的表达式是解答本题的关键．