Question

11．如图所示，一个光滑的圆锥体固定在水平桌面上，其轴线沿竖直方向，图中所示的夹角θ=30°．一长为L的轻质绳一端固定在圆锥体的顶点O处，另一端挂一个质量为m的小物体（可看成质点），物体以速率v 绕圆锥体的轴线做水平方向的匀速圆周运动．则：
（1）当$v=\sqrt{\frac{1}{6}gL}$时，求绳对物体的拉力；
（2）当$v=\sqrt{\frac{3}{2}gL}$时，求绳对物体的拉力．

Answer 1

分析 求出物体刚要离开锥面时的速度，此时支持力为零，根据牛顿第二定律求出该临界速度．当速度大于临界速度，则物体离开锥面，当速度小于临界速度，物体还受到支持力，根据牛顿第二定律，物体在竖直方向上的合力为零，水平方向上的合力提供向心力，求出绳子的拉力．

解答 解：当物体离开锥面时：Tcosθ-mg=0，Tsinθ=$\frac{m{v}^{2}}{R}$，R=Lsinθ
解得v=$\sqrt{\frac{\sqrt{3}gl}{6}}$．
（1）v₁＜v时，有${T}_{1}sinθ-{N}_{1}cosθ=\frac{{{mv}_{1}}^{2}}{R}$，T₁cosθ+N₁sinθ-mg=0
解得${T}_{1}=\frac{3\sqrt{3}+1}{6}mg$．
（2）v₂＞v时，球离开锥面，设线与竖直方向上的夹角为α，
则T₂cosα-mg=0
${T}_{2}sinα=\frac{m{{v}_{2}}^{2}}{{R}_{2}}$
R₂=Lsinα
解得T₂=2mg．
答：（1）当$v=\sqrt{\frac{1}{6}gL}$时，绳对物体的拉力为$\frac{3\sqrt{3}+1}{6}mg$；
（2）当${v}_{2}=\sqrt{\frac{3}{2}gL}$时，求绳对物体的拉力为2mg．

点评 解决本题的关键找出物体的临界情况，以及能够熟练运用牛顿第二定律求解．