Question

5．某校物理兴趣小组遥控赛车比赛路径如图所示，赛车从起点A出发，沿水平直线轨道运动L后，由B点进入半径为R的光滑竖直圆轨道，比赛要求赛车顺利通过竖直圆轨道后继续在光滑平直轨道上运动到C点，并能越过壕沟．已知赛车质量m=0.1kg，通电后以额定功率P=1.5w工作，进入竖直轨道前受到阻力恒为0.3N，随后在运动中受到的阻力均可不计．图中L=10.00m，R=0.32m，h=1.25m，S=1.50m．
问：（1）要使赛车顺利通过圆轨道，电动机至少工作多长时间？
（2）试分析说明赛车在恰能通过圆轨道的情况下能否顺利越过壕沟（取g=10m/s² ）

Answer 1

分析 （1）通过牛顿第二定律和动能定理求出小球要越过圆轨道最高点在B点的速度，通过平抛运动的轨道求出通过B点的速度，从而确定通过B点的最小速度，根据动能定理求出要使赛车完成比赛，电动机至少工作的时间．
（2）赛车在恰能通过圆轨道最高点时，由重力提供向心力，由牛顿第二定律求最高点的最小速度，再由机械能守恒求出赛车到达B点的速度，与上题中赛车刚好顺利越过壕沟时通过B点的速度比较，即可作出判断．

解答 解：（1）根据牛顿第二定律得，小球通过最高点的最小速度为v₁，根据 mg=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$，得v₁=$\sqrt{gR}$
根据动能定理得，mg•2R=$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$
解得赛车通过B点的最小速度  v_B=$\sqrt{5gR}$=$\sqrt{5×10×0.32}$=4m/s．
故为保证过最高点，到达B点的速度至少为v_B=4m/s
对于平抛运动过程，根据h=$\frac{1}{2}$gt′²得，t′=$\sqrt{\frac{2h}{g}}$=$\sqrt{\frac{2×1.25}{10}}$s=0.5s
则平抛运动初速度的最小值 v₀=$\frac{s}{t}$=$\frac{1.5}{0.5}$=3m/s．
为保证越过壕沟，到达B点的速度至少为v₀=3m/s
因此赛车到达B点的速度至少为：v=v_B=4m/s
从A到B对赛车用动能定理：Pt-fL=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
解得t≥2.54s
（2）根据上题结果知，由于v_B＞v₀，所以赛车在恰能通过圆轨道的情况下能顺利越过壕沟．
答：
（1）要使赛车完成比赛，电动机至少工作2.54s．
（2）赛车在恰能通过圆轨道的情况下能顺利越过壕沟．

点评 本题综合考查了动能定理、牛顿第二定律，涉及到直线运动、圆周运动、平抛运动，综合性较强，关键要把握圆周运动最高点的临界条件：重力提供向心力，运用运动的分解法研究平抛运动．