Question

1．如图所示，两根光滑金属导轨平行放置在倾角为30°的斜面上，导轨宽度为L，导轨下端接有电阻R，两导轨间存在一方向垂直于斜面向上、磁感应强度大小为B的匀强磁场．轻绳一端平行于斜面系在质量为m的金属棒上，另一端通过定滑轮竖直悬吊质量为m₀的小木块．第一次将金属棒从PQ位置由静止释放，发现金属棒沿导轨下滑．第二次去掉轻绳，让金属棒从PQ位置由静止释放．已知两次下滑过程中金属棒始终与导轨接触良好，且在金属棒下滑至底端MN前，都已经达到了平衡状态．导轨和金属棒的电阻都忽略不计，已知$\frac{m}{{m}_{0}}$=4，$\frac{mgR}{{B}^{2}{L}^{2}}$=$\sqrt{gh}$（h为PQ位置与MN位置的高度差）．求：
（1）金属棒两次运动到MN时的速度大小之比；
（2）金属棒两次运动到MN过程中，电阻R产生的热量之比．

Answer 1

分析 （1）导体棒匀速运动时受力平衡，分别对两种情况进行研究，由平衡条件和安培力公式列式，即可求得速度比．
（2）分别对两过程进行分析，根据动能定理列式，联立即可求得产生热量之比，

解答 解：（1）第一次释放金属棒后达到了平衡状态时，设金属棒速度为v₁，根据法拉第电磁感应定律有：
E₁=BLv₁
根据闭合电路欧姆定律有：
I₁=$\frac{{E}_{1}}{{R}_{1}}$
金属棒受到的安培力为：
F_安=BI₁L
金属棒匀速运动时有：
mgsin30°=F_安+m₀g
解得：v₁=$\frac{（m-2{m}_{0}）gR}{2{B}^{2}{L}^{2}}$
第二次释放金属棒后达到了平衡状态后，设金属棒速度为v₂，根据法拉第电磁感应定律有：
E₂=BLv₂
根据闭合电路欧姆定律有：
I₂=$\frac{{E}_{2}}{R}$
金属棒受到的安培力为：F_安=BI₂L
金属棒匀速运动时有：mgsin30°=F_安
解得：v₂=$\frac{mgR}{2{B}^{2}{L}^{2}}$
所以有：$\frac{{v}_{1}}{{v}_{2}}$=$\frac{m-2{m}_{0}}{m}$=$\frac{1}{2}$
（2）第一次下滑至MN位置的过程中根据动能定理是：
mgh-m₀g$\frac{h}{sin30°}$-W₁=$\frac{1}{2}$（m+m₀）v₁²
第二次下湍至MN位置的过程中根据动能定理得：
mgh-W₂=$\frac{1}{2}$mv₂²
两次运动过程中，电阻R上产生的热量之比为：
$\frac{{Q}_{1}}{{Q}_{2}}$=$\frac{{W}_{1}}{{W}_{2}}$
联立解得：
$\frac{{Q}_{1}}{{Q}_{2}}$=$\frac{59}{112}$
答：（1）金属棒两次运动到MN时的速度大小之比为1：2；
（2）金属棒两次运动到MN过程中，电阻R产生的热量之比为59：112．

点评 本题是电磁感应中的力学问题，关键要正确推导出安培力与速度的关系，由平衡条件解答；同时注意明确能量转化规律，再根据动能定理列式即可求解产生热量之比．