Question

4．如图所示，质量为m的小车静止在光滑的水平地面上，车长为L．现给小车施加一个水平向右的恒力F使小车向右匀加速运动，与此同时在小车的正前方s₀处的正上方H高处有一个可视为质点的小球从静止开始做自由落体运动（重力加速度为g），试求：
（1）小球下落的时间；
（2）要使小球落到小车上，小车高度忽略不计，恒力F的取值范围．

Answer 1

分析 小球自由下落的高度一定，则下落的时间一定，小球落在小车上，则在这段时间内的位移大于s₀，小于（L+s₀），根据匀变速直线运动的位移时间公式求出小车加速度的范围．从而得出恒力F的取值范围．

解答 解：（1）由于小球做自由落体运动，所以有：$H=\frac{1}{2}g{t^2}$，
即 $t=\sqrt{\frac{2H}{g}}$．
（2）设当小球刚好落到小车的前端时小车的加速度为 $a=\frac{F_1}{m}$，
小车运动的位移$s={s_0}=\frac{1}{2}a{t^2}$
所以${F_1}=\frac{{2m{s_0}}}{t^2}=\frac{{mg{s_0}}}{H}$．
设当小球刚好落到小车的末端时，小车的加速度$a'=\frac{F_2}{m}$，
小车运动的位移$s={s_0}+{L_0}=\frac{1}{2}a'{t^2}$，所以${F_2}=\frac{{2m（{s_0}+{L_0}）}}{t^2}=\frac{{mg（{s_0}+{L_0}）}}{H}$．
要使小球落到小车上，恒力F的取值范围为$\frac{{mg{s_0}}}{H}$≤F≤$\frac{{mg（{s_0}+{L_0}）}}{H}$．
答：（1）小球下落的时间为$\sqrt{\frac{2H}{g}}$；
（2）要使小球落到小车上，小车高度忽略不计，恒力F的取值范围$\frac{{mg{s_0}}}{H}$≤F≤$\frac{{mg（{s_0}+{L_0}）}}{H}$．

点评 解决本题的关键抓住小球下落的时间和小车运动的时间相等，运用匀变速直线运动位移时间公式求加速度的范围．