Question

18．“旋转秋千”是游乐园里常见的游乐项目．如图所示，长为L的钢绳一端系着座椅，另一端固定在半径为r的水平转盘边缘．转盘可绕穿过其中心的竖直轴转动，钢绳与转轴在同一竖直平面内，不计钢绳的重力，重力加速度为g．人和座椅的总质量为m．转盘角速度越大，钢绳与竖直方向夹角越大，座椅就越高．求：
（1）人做圆周运动的向心加速度为$\frac{4}{3}$g时，钢绳的拉力大小；
（2）钢绳与竖直方向的夹角为θ时，转盘的角速度大小．

Answer 1

分析 （1）根据牛顿第二定律可求得合力，再由几何关系可求得拉力；
（2）由几何关系可求得合外力，再由向心力公式即可求得角速度大小．

解答 解：（1）由牛顿第二定律可知，人受到的合力F=ma=$\frac{4}{3}$mg；
由几何关系可知，钢绳的拉力F=$\sqrt{（mg）^{2}+{F}^{2}}$=$\frac{5mg}{3}$；
（2）夹角为θ时，F=mgtanθ；
则由牛顿第二定律可知：
mgtanθ=m（r+Lsinθ）ω²
解得：ω=$\sqrt{\frac{gtanθ}{r+Lsinθ}}$

答：（1）人做圆周运动的向心加速度为$\frac{4}{3}$g时，钢绳的拉力大小为$\frac{5mg}{3}$；
（2）钢绳与竖直方向的夹角为θ时，转盘的角速度大小$\sqrt{\frac{gtanθ}{r+Lsinθ}}$

点评 本题考查向心力公式，要注意明确物体受到的合外力充当向心力；故可以根据牛顿第二定律的应用进行分析求解．