Question

6．一玻璃砖横截面如图所示，其中ABC为直角三角形（AC边未画出），AB为直角边，∠ABC=45°；ADC为一圆弧，其圆心在BC边的中点，半径为r，此玻璃的折射率为2．P为一贴近玻璃砖放置的光屏，P与AB垂直．若一束宽度与AB边长度相等的平行光从AB边垂直射人玻璃砖，求：
①在弧ADC上有光透出部分的弧长；
②P光屏上光斑最小时，光屏到弧ADC的距离．

Answer 1

分析 ①材料的折射率n=2，由sinC=$\frac{1}{n}$求出临界角C=30°，光在BC面发生全反射，在ADC弧面上有光线刚好射出时，入射角等于临界角C，再结合几何关系求解．
②P光屏上光斑最小时，两条刚好射出的光线交于一点，由几何关系可得光屏到ADC弧的距离．

解答 解：①光线从AB面射人玻璃砖，在BC面上的入射角为45°，因玻璃砖的折射率为2，则sinC=$\frac{1}{n}$=$\frac{1}{2}$，得临界角C=30°，光在BC面发生全反射．
在ADC弧面上有光线刚好射出时折射角 r=90°
由 n=$\frac{sini}{sinr}$得 i=30°
在ADC弧上有光透出的圆心角为 60°，弧长 s=$\frac{π}{3}$r．
②P光屏上光斑最小时，两条刚好射出的光线交于一点，由图可得
光屏到ADC弧的距离 d=$\frac{r}{cos30°}$-r
解得 d=$\frac{2\sqrt{3}-3}{3}$r
答：
①在弧ADC上有光透出部分的弧长是$\frac{π}{3}$r．
②P光屏上光斑最小时，光屏到弧ADC的距离是$\frac{2\sqrt{3}-3}{3}$r．

点评 本题要判断光线在BC边上发生了全反射，正确作出光路图，充分运用数学知识帮助解决几何光学问题．