Question

10．如图所示，竖直放置的足够长的绝缘板PQ右方的区域内有垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度的大小B=5.0×10^-2T，MN是与PQ平行的磁场的右边界，d=0.2m，在PQ上的小孔O处有一放射源，放射源沿纸面向磁场中各个方向均匀的射出速率v=2×10⁶m/s的某种带正电的粒子，粒子的质量m=1.6×10^-27kg，所带电荷量q=3.2×10^-19C，不计粒子的重力及粒子间的相互作用．
（1）求带电粒子在磁场中的轨迹半径；
（2）求粒子的周期和从边界MN射出的粒子在磁场中运动的最短时间；
（3）若OQ=$\frac{\sqrt{3}}{5}$m，且QN是磁场的下边界，则在某段时间内从放射源共射出n个粒子中，有多少个粒子是从磁场的下边界QN射出的？

Answer 1

分析 （1）带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力充当向心力，由牛顿第二定律求解轨迹半径．
（2）因为粒子运动的轨道半径相同，故弦最短时对应的圆心角最小，运动时间最短，根据几何关系得到最短的弦的大小，再求解最短时间．
（3）画出粒子恰好能从磁场的下边界射出的运动轨迹，由数学知识得到圆心角，再求解即可．

解答 解：（1）由qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$
得r=$\frac{mv}{qB}$=$\frac{1.6×1{0}^{-27}×2×1{0}^{6}}{3.2×1{0}^{-19}×5×1{0}^{-2}}$m=0.2m
（2）因为粒子运动的轨道半径相同，故弦最短时对应的圆心角最小，运动时间最短，显然最短的弦的大小为d，易得此时的圆心角θ=$\frac{π}{3}$
粒子做圆周运动的周期T=$\frac{2πr}{v}$=$\frac{2πm}{qB}$
最短时间t=$\frac{θ}{2π}$T=$\frac{T}{6}$=$\frac{π}{3}$×10^-7s
（3）如图中1轨迹所示，当速度与0P的夹角θ=90°时，恰好能从磁场的下边界射出
当粒子恰好从Q点射出时，如图中2轨迹所示设此时的圆心角为α

则sin$\frac{α}{2}$=$\frac{\frac{OQ}{2}}{r}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$
此时粒子从O点射出时的速度方向与OP的夹角为α=120°，故θ=120°
△θ=120°-90°=30°
故从磁场的下边界QN射出的粒子数为$\frac{30°}{180°}$n=$\frac{n}{6}$
答：
（1）带电粒子在磁场中的轨迹半径为0.2m；
（2）粒子的周期和从边界MN射出的粒子在磁场中运动的最短时间是$\frac{π}{3}$×10^-7s；
（3）若OQ=$\frac{\sqrt{3}}{5}$m，且QN是磁场的下边界，则在某段时间内从放射源共射出n个粒子中，有$\frac{n}{6}$个粒子是从磁场的下边界QN射出的．

点评 本题中带电粒子在匀强磁场中运动的类型，画出粒子的运动轨迹，运用几何知识和牛顿第二定律研究磁场中轨迹问题．