Question

12．如图所示，倾斜传送带与水平地面之间的夹角θ=37°，从A→B长度为L=29m，传送带以10m/s的速度逆时针转动，在传送带上端A处无初速度地放一个质量为0.1kg的物体，它与传送带之间的动摩擦因数为0.5，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力的大小，sin37°=0.6，cos37°=0.8，取g=10m/s²．求：
（1）物体从A运动到B所需的时间是多少？
（2）若物体与传送带之间的动摩擦因数为$\frac{13}{16}$，则物体从A运动到B所需的时间又是多少？

Answer 1

分析 （1）物体在传送带上受到重力、支持力和摩擦力作用先做初速度为0的匀加速直线运动，当速度和传送带速度一样时进行判断物体跟随传送带匀速还是单独做匀变速直线运动，根据总位移为29m，可以求出整个运动过程的时间t；
（2）同理可以求出物体与传送带之间的动摩擦因数为$\frac{13}{16}$时物体加速运动时间和匀速运动的时间．

解答 解：（1）物体放上传送带后，开始一段时间t₁内做初速度为0的匀加速直线运动，小物体受到沿斜面向下的摩擦力：
可知，物体所受合力F_合=mgsinθ+f，
又因为f=μN=μmgcosθ，
所以根据牛顿第二定律可得：a=$\frac{{F}_{合}}{m}=10m/{s}^{2}$；
当物体速度增加到10m/s时产生的位移x=$\frac{{v}^{2}}{2a}=\frac{100}{2×10}$=5m＜29m，
所用时间为：t=$\frac{v}{a}$=1s，
所以物体速度增加到10m/s后，由于mgsinθ＞μmgcosθ，所以物体将受沿传送带向上的摩擦力的作用，
a₂=$\frac{mgsinθ-μmgcosθ}{m}$=2m/s²，
匀加速运动的位移为l=29-x=24m，设所用时间为t′，
则l=vt′+$\frac{1}{2}$at′²，
解得：t′=2s，
t_总=1s+2s=3s；
（2）若物体与传送带之间的动摩擦因数为$\frac{13}{16}$，则物体放上传送带后，
开始一段时间t₁′内做初速度为0的匀加速直线运动，小物体受到沿斜面向下的摩擦力：
可知，物体所受合力F′_合=mgsinθ+f′
又因为f′=μN=μ′mgcosθ
所以根据牛顿第二定律可得：a′=$\frac{F{′}_{合}}{m}$=12.5m/s²
当物体速度增加到10m/s时所用时间为t′=$\frac{v}{a′}=\frac{10}{12.5}s=0.8s$，
产生的位移x′=$\frac{v}{2}t′=\frac{10}{2}×0.8m=4m$，
所以物体速度增加到10m/s后，由于mgsinθ＜μmgcosθ，所以物体将和传送到一起匀速运动，
匀速运动的位移为l′=29-x′=25m，设所用时间为t″，
则$t″=\frac{l′}{v}=\frac{25}{10}s=2.5s$
则t′_总=0.8+2.5=3.3s；
答：（1）物体从A运动到B所需的时间是3s；
（2）若物体与传送带之间的动摩擦因数为$\frac{13}{16}$，则物体从A运动到B所需的时间又是3.3s．

点评 本题主要是考查了传送带问题；从此例题可以总结出，皮带传送物体所受摩擦力可能发生突变，不论是其大小的突变，还是其方向的突变，都发生在物体的速度与传送带速度相等的时刻．要理清物体的运动规律，结合运动学公式和牛顿第二定律进行求解．