Question

20．一艘小船从河岸的A处出发渡河，小船保持与河岸垂直方向行驶，经过60s到达正对岸下游的C处，如果小船保持原来的速度大小不变逆水斜向上游与河岸成α角方向行驶，则经过75s恰好到达正对岸的B处，如图所示，求：
（1）船头与河岸的夹角α；
（2）小船在静水中的速度和水流的速度之比．

Answer 1

分析 （1）将船的运动分解为垂直于河岸和沿河岸方向，抓住分运动与合运动具有等时性求出船头与河岸的夹角．
（2）当实际航线与河岸垂直时，${v}_{船}^{\;}$在平行于河岸方向与${v}_{水}^{\;}$相等，列出方程求出比值

解答 解：（1）设河宽为d，水流速度为${v}_{水}^{\;}$，小船在静水中的速度为${v}_{船}^{\;}$，小船船头保持与河岸垂直渡河所用时间为${t}_{1}^{\;}=60s$，如图1所示，则有
${v}_{船}^{\;}{t}_{1}^{\;}=d$
当小船船头与河岸线成α角方向行驶时，如图2所示，渡河时间为${t}_{2}^{\;}=75s$，则有
${v}_{船}^{\;}sinα•{t}_{2}^{\;}=d$
联立解得：$sinα=\frac{60}{75}=0.8$
α=53°
（2）由图2可知：${v}_{船}^{\;}•cosα={v}_{水}^{\;}$
解得：$\frac{{v}_{船}^{\;}}{{v}_{水}^{\;}}=\frac{1}{cosα}=\frac{5}{3}$
答：（1）船头与河岸的夹角α为53°；
（2）小船在静水中的速度和水流的速度之比为$\frac{5}{3}$．

点评 解决本题的关键知道分运动与合运动具有等时性，各分运动具有独立性，互不干扰，注意列出方程组，从而求解是解题的基本思路．