Question

2．如图所示，在平面直角坐标系xOy内，第Ⅱ、Ⅲ象限内存在沿y轴正方向的匀强电场，第I、IV象限内存在半径为L的圆形匀强磁场，磁场圆心在M（L，0）点，磁场方向垂直坐标平面向外，一带正电的粒子从第III象限中的Q（-2L，-L）点以速度v₀=2m/s沿x轴正方向射出，恰好从坐标原点O进入磁场，从P（2L，0）点射出磁场，不计粒子重力，求：
（1）粒子进入磁场时的速度大小和方向；
（2）电场强度与磁感应强度大小之比；
（3）若L=1m，则粒子在磁场与电场中运动的总时间是多少？

Answer 1

分析 （1）粒子在电场中做类平抛运动，根据平抛运动的基本公式及几何关系即可求解速度大小和方向；
（2）设粒子在电场中运动的加速度大小为a，根据牛顿第二定律及速度时间公式即可求解电场强度；再根据向心力公式及由几何关系求出半径即可求磁场强度；从而求出E和B的比值；
（3）根据周期公式先求出粒子在磁场中运动的时间，再加上在电场中运动的时间即可求解．

解答 解：（1）在电场力运动过程中，在水平方向上做匀速直线运动，故有：2L=v₀t₁ …①
在竖直方向上做匀变速直线运动，故有：$L=\frac{1}{2}at_1^2$=$\frac{{v}_{y}}{2}t$…②
则可知粒子到达O点时沿y轴正方向的分速度为：v_y=at₁=v₀，
故$tanα=\frac{v_y}{v_0}=1$，
即末速度与水平方向的夹角α=45°
粒子在磁场中的运动速度为：$v=\sqrt{2}{v_0}=2\sqrt{2}m/s$
（2）由牛顿第二定律可知：
qE=ma…③
联立①、②、③式解得：E=$\frac{m{{v}_{0}}^{2}}{2qL}$…④
洛伦兹力充当向心力，所以有：$Bqv=m\frac{v^2}{r}$，
得：$r=\frac{mv}{Bq}=\frac{{\sqrt{2}m{v_0}}}{Bq}$
根据几何关系可得：$r=\sqrt{2}L$，
故磁感应强度：B=$\frac{m{v}_{0}}{qL}$…⑤
联立④⑤解得电场强度与磁感应强度的比值：
$\frac{E}{B}=\frac{v_0}{2}=1$
（3）粒子在电场中运动时间为：t₁=$\frac{2L}{{v}_{0}}$=$\frac{2}{2}$s=1s；
粒子在磁场中的运动轨迹的圆心角为90°，故粒子在磁场中的运动时间为：${t_2}=\frac{{\frac{π}{2}}}{2π}T$，
周期为：T=$\frac{2πL}{{v}_{0}}$
由题意知：L=1m，
联立解得：${t_2}=\frac{πL}{{2{v_0}}}$，
则粒子运动总时间为：t=t₁+t₂，
联立可得：$t=（{1+\frac{π}{4}}）s$
答：（1）粒子进入磁场时的速度大小为2$\sqrt{2}$m/s；方向与水平方向成45°角；
（2）电场强度与磁感应强度大小之比为1；
（3）若L=1m，则粒子在磁场与电场中运动的总时间是（1+$\frac{π}{4}$）s．

点评 本题是带电粒子在组合场中运动的问题，粒子垂直射入电场，在电场中偏转做类平抛运动，在磁场中做匀速圆周运动，要求同学们能画出粒子运动的轨迹，结合几何关系求解，知道半径公式及周期公式，难度适中．