Question

如图甲所示，两平行金属板间距为2l，极板长度为4l，两极板间加上如图乙所示的交变电压（t=0时上极板带正电）．以极板间的中心线OO₁为x轴建立坐标系，现在平行板左侧入口正中部有宽度为l的电子束以平行于x轴的初速度v₀从t=0时不停地射入两板间．已知电子都能从右侧两板间射出，射出方向都与x轴平行，且有电子射出的区域宽度为2l．电子质量为m，电荷量为e，忽略电子之间的相互作用力．

（1）求交变电压的周期T和电压U₀的大小；

（2）在电场区域外加垂直纸面的有界匀强磁场，可使所有电子经过有界匀强磁场均能会聚于（6l，0）点，求所加磁场磁感应强度B的最大值和最小值；

（3）求从O点射入的电子刚出极板时的侧向位移y与射入电场时刻t的关系式．

Answer 1

（1）电子在电场中水平方向做匀速直线运动　

4l=v₀nT T=　（n=1,2,3…） 2分

（其中n=1,2,3…1分）

电子在电场中运动最大侧向位移

1分

1分

（n=1,2,3…） 2分

（其中n=1,2,3…1分）

（2）如上图，最大区域圆半径满足

1分 1分

对于带电粒子当轨迹半径等于磁场区域半径时，带电粒子将汇聚于一点

1分 得： 1分

最小区域圆半径为

1分

1分

（3）设一时间τ，

若且进入电场

1分

其中（n=1,2,3…，k=0,1,2,3…） 1分

若且_进入电场

1分

其中（n=1,2,3…，k=0,1,2,3…）

或：若电子在且进入电场时，出电场的总侧移为：，其中（n＝1,2,3…，k＝0，1,2,3…）

（其他解法）

若，则

电子沿+y方向第一次加速的时间为

电子沿-y方向第一次加速的时间为

解得：

其中，

∴（n=1,2,3…，k=0,1,2,3…）

若，则

电子沿-y方向第一次加速的时间为

电子沿+y方向第一次加速的时间为

解得：

其中，

∴（n=1,2,3…，k=0,1,2,3…）