Question

如图所示，质量为2m的木板A静止在光滑水平面上，其左端与固定台阶相距S，长木板的右端固定一半径为R光滑的四分之一圆弧，圆弧的下端与木板水平相切但不相连。质量为m的滑块B（可视为质点）以初速度从圆弧的顶端沿圆弧下滑，当B到达最低点时，B从A右端的上表面水平滑入．A与台阶碰撞无机械能损失，不计空气阻力，A、B之间动摩擦因数为μ，A足够长，B不会从A表面滑出；重力加速度为g．试分析下列问题：

（1）滑块B到圆弧底端时的速度大小v1；

（2）A与台阶只发生一次碰撞，求S满足的条件；

（3）S在满足（2）条件下，讨论A与台阶碰撞前瞬间B的速度。

 

Answer 1

【解析】

（1）滑块B从释放到最低点，机械能守恒，取水平面为零势面，由机械能守恒定律得：

     ①

由①解得：                 ②

（2）设A与台阶碰撞前瞬间，A、B的速度分别为vA和vB，由动量守恒定律得：

                   ③

若A与台阶只碰撞一次，碰撞后必须满足：      ④

对A应用动能定理：              ⑤

联立③④⑤解得：                  ⑥

即A与台阶只能碰撞一次的条件是：

（3）设S=时，A左端到台阶板前瞬间，A、B恰好达到共同速度，由动量守定律得：         ⑦

对A应用动能定理：      ⑧

联立⑦⑧得：

讨论： (i)当即时，AB共速后A才与挡板碰撞．

由⑦式可得A与台阶碰撞前瞬间的A、B的共同速度为：

即A与台阶碰撞前瞬间B的速度为：

 (ii)当即时，AB共速前A就与台阶碰撞，对A应用动能定理有：

由上式解得A与台阶碰撞前瞬间的速度：

设此时B的速度为,由动量守恒定律得：

由解得