Question

【题目】如图所示，在竖直平面内有一直角坐标系，在坐标系的第二象限内有一粗糙曲面轨道，在第一象限内有一半径为的光滑半圆弧轨道（圆心在轴上），它们恰好在点平滑连接．现让一质量为的小球（可视为质点）从左侧距轴竖直高度为的点由静止释放，到达点时的速度大小是，已知重力加速度为．求：

（）小球由到克服摩擦力做的功；

（）小球到最高点时对轨道的压力；

（）若所有轨道均光滑，且左侧轨道满足的方程为，要使小球能过圆弧轨道的最高点，求小球从左侧轨道由静止释放的最低位置坐标．

Answer 1

【答案】（）mgR；（）mg，方向向上；（）．

【解析】（）小球由到，由动能定理得：

据题

解得，小球克服摩擦力做的功

（）小球由到，由动能定理得：

在点，由合力提供向心力，由牛顿第二定律得：

联立解得

由牛顿第三定律知，小球在点对轨道的压力大小为，方向向上．

（）规定思所在平面势能为零，设释放的最低位置坐标为， 点的最小速度为．

对全过程，运用机械能守恒定律得：

在点，有

联立得

将代入抛物线方程，得

所以，最低位置坐标为．