Question

12．如图所示，直线形挡板p₁p₂p₃与半径为r的圆弧形挡板p₃p₄p₅平滑连接并安装在水平台面b₁b₂b₃b₄上，挡板与台面均固定不动．线圈c₁c₂c₃的匝数为n，其端点c₁、c₃通过导线分别与电阻R₁和平行板电容器相连，电容器两极板间的距离为d，电阻R₁的阻值是线圈c₁c₂c₃阻值的2倍，其余电阻不计，线圈c₁c₂c₃内有一面积为S、方向垂直于线圈平面向上的匀强磁场，磁场的磁感应强度B随时间均匀增大．质量为m的小滑块带正电，电荷量始终保持为q，在水平台面上以初速度v₀从p₁位置出发，沿挡板运动并通过p₅位置．若电容器两板间的电场为匀强电场，p₁、p₂在电场外，间距为L，其间小滑块与台面的动摩擦因数为μ，其余部分的摩擦不计，重力加速度为g．求：
（1）小滑块通过p₂位置时的速度大小．
（2）电容器两极板间电场强度的取值范围．
（3）经过时间t，磁感应强度变化量的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据过程分析，滑块从p₁运动到p₂的过程运用动能定理可以求解第一问；
（2）小滑块要能到达p₅位置，则必须能达到最高点，根据圆周运动的特点，能在竖直平面内做圆周运动需要条件，列圆周运动的向心力公式，结合受力特点即可求解第二问；
（3）根据法拉第电磁感应定律求出感应电动势，由闭合电路欧姆定律、电场公式联立方程即可解决第三问．

解答 解：（1）小滑块运动到位置p₂时速度为v ₁，由动能定理有：
-umgL=$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$…①
v ₁=$\sqrt{{v}_{0}^{2}-2μgL}$…②
（2）由题意可知，电场方向如图，若小滑块能通过位置p，则小滑块可沿挡板运动且通过位置p₅，
设小滑块在位置p的速度为v，受到的挡板的弹力为N，匀强电场的电场强度为E，由动能定理有：
-umgL-2rEq=$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$…③
当滑块在位置p时，由牛顿第二定律有：N+Eq=m$\frac{{v}^{2}}{r}$…④
由题意有：N≥0…⑤
由以上三式可得：E≤$\frac{m（{v}_{0}^{2}-2μgL）}{5qr}$…⑥
E的取值范围：0＜E≤$\frac{m（{v}_{0}^{2}-2μgL）}{5qr}$…⑦
（3）设线圈产生的电动势为E ₁，其电阻为R，平行板电容器两端的电压为U，t时间内磁感应强度的变化量为△B，
得：U=Ed…⑧
由法拉第电磁感应定律得：E₁=n$\frac{△BS}{t}$…⑨
由全电路的欧姆定律得：E₁=I（R+2R）…⑩
且U=2RI
经过时间t，磁感应强度变化量的取值范围：0＜△B≤$\frac{3md（{v}_{0}^{2}-2μgL）t}{10nsqr}$．
答：（1）小滑块通过p₂位置时的速度大小$\sqrt{{v}_{0}^{2}-2μgL}$．
（2）电容器两极板间电场强度的取值范围0＜E≤$\frac{m（{v}_{0}^{2}-2μgL）}{5qr}$．
（3）经过时间t，磁感应强度变化量的取值范围0＜△B≤$\frac{3md（{v}_{0}^{2}-2μgL）t}{10nsqr}$．

点评 对于这类题目，首先要细分过程，题目中条件繁杂，要画出特定条件下的轨迹图，要对每个过程进行受力分析，从而链接熟悉的题型，就像本题第二个过程，大体上属于圆周运动，再细分就类同于学过的竖直面内的非匀速圆周运动；此外一定要把所求问题和已知条件，特别是特定条件结合起来，寻求解题思路．就像第三问，求磁感应强度变化量，它所联系的是法拉第电磁感应定律，列出公式，转化为求E，再根据欧姆定律转化为求U，这样正反推导就可解决复杂问题．