Question

6．北斗卫星导航系统是我国正在自主研发的全球卫星导航系统，该系统由空间端（卫星）、地面端（中心控制系统）和用户端（导航定位仪）三部分组成，预计2020年形成全球覆盖能力．目前正在试用的“北斗一号”卫星导航试验系统也称“双星定位导航系统”，利用两颗地球同步静止轨道卫星为用户提供快速定位导航服务．
（1）已知地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，地球自转周期为T，求“北斗一号”同步静止轨道卫星距地面的高度；
（2）双星定位导航系统的工作原理可简化为如下过程（其示意图如图甲所示）：中心控制系统首先向卫星发出询问信号，经卫星Ⅰ转发到达用户端S，用户接收到该信号并同时向两颗卫星发出定位响应信号，分别经卫星Ⅰ、卫星Ⅱ传送回中心控制系统，中心控制系统分别记录下从发出询问信号到接收到经卫星Ⅰ、卫星Ⅱ传回的两个响应信号的时间．因为控制中心到两颗卫星的距离一定，所以可以利用信号从用户分别传送到卫星Ⅰ和卫星Ⅱ的时间，计算出用户所在的位置．
在卫星Ⅰ、卫星Ⅱ和用户S所在的平面内建立平面直角坐标系如图乙所示，卫星Ⅰ、卫星Ⅱ的坐标分别为（-L，0）和（L，0），已知电磁波的传播速率为c，不计大气层对信号传播的影响．
①若地面控制中心测出电磁信号从用户S传送到卫星Ⅰ所用的时间为t₁，从用户S传送到卫星Ⅱ所用的时间为t₂，求用户S在此平面内的位置．
②实际导航定位过程中，为了确定用户在空间中的位置，你认为中心控制系统还需要测出并提供用户所在位置的哪些信息？

Answer 1

分析 （1）根据万有引力提供向心力，由万有引力定律和牛顿运动定律列出等式求解．
（2）根据题意及几何关系求出用户S的坐标关系．

解答 解：（1）设地球的质量为M，“北斗一号”卫星的质量为m，其轨道高度为h，根据牛顿第二定律和万有引力定律得：
$G\frac{Mm}{（R+h）^{2}}=m\frac{4{π}^{2}（R+h）}{{T}^{2}}$
对地面上质量为m₀的物体有：$\frac{GM{m}_{0}}{{R}^{2}}={m}_{0}g$
联立上述二式，可解得：h=$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}-R$
（2）①设用户S的坐标为（x，y），根据题意及几何关系，有：
$（x+L）^{2}+（y-0）^{2}=（c{t}_{1}）^{2}$
${（x-L）}^{2}+{（y-0）}^{2}={（c{t}_{2}）}^{2}$
解得S的位置坐标为（$\frac{{c}^{2}（{{t}_{1}}^{2}-{{t}_{2}}^{2}）}{4L}$，$\sqrt{{c}^{2}{{t}_{1}}^{2}-[\frac{{c}^{2}（{{t}_{1}}^{2}-{{t}_{2}}^{2}）}{4L}+L]^{2}}$）
②实际导航定位过程中，为了确定用户在空间中的位置，还需要测出并提供用户所在位置的高度．
答：（1）“北斗一号”同步静止轨道卫星距地面的高度为$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}-R$；
（2）①用户S在此平面内的位置坐标为（$\frac{{c}^{2}（{{t}_{1}}^{2}-{{t}_{2}}^{2}）}{4L}$，$\sqrt{{c}^{2}{{t}_{1}}^{2}-[\frac{{c}^{2}（{{t}_{1}}^{2}-{{t}_{2}}^{2}）}{4L}+L]^{2}}$）．
②实际导航定位过程中，为了确定用户在空间中的位置，还需要测出并提供用户所在位置的高度．

点评 地球质量一定、自转速度一定，同步卫星要与地球的自转实现同步，就必须要角速度与地球自转角速度相等，这就决定了它的轨道高度和线速度大小．