Question

15．已知地球半径为R，a卫星离地面的高度等于R，b卫星离地面高度为3R，两颗卫星在同一轨道平面绕地球做匀速圆周运动，则：
①a、b两卫星所在轨道重力加速度之比；
②若某时刻两卫星正好同时通过地面同一点的正上方，则a至少经过多少个周期两卫星相距最近？

Answer 1

分析 由万有引力提供向心力可求得加速度之比，将卫星的运动看成匀速圆周运动处理，相距最近为两者完成的转数差为1．

解答 解：①万有引力提供向心力得：a=$\frac{GM}{{r}^{2}}$，则$\frac{{a}_{a}}{{a}_{b}}$=$\frac{{r}_{b}^{2}}{{r}_{a}^{2}}$=4
　　②由开普勒行星运动规律知
T_a：T_b=$\sqrt{\frac{1}{8}}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$；
设经过△t时间 两卫星再一次通过地面同一点的上方，
此时a比b多转一圈，即$\frac{△t}{{t}_{a}}-\frac{△t}{{t}_{b}}$=1
解得：△t=$\frac{{T}_{a}{T}_{b}}{{T}_{b}-{T}_{a}}$  则为T_a的$\frac{2\sqrt{2}}{2\sqrt{2}-1}$倍
答：①a、b两卫星所在轨道重力加速度之比为4：1；
②a至少经过$\frac{2\sqrt{2}}{2\sqrt{2}-1}$个周期两卫星相距最近．

点评 本题既可应用万有引力提供向心力求解，也可应用开普勒行星运动定律求解，以后者较为方便，两卫星何时相距最近的求解，用到的数学变换相对较多，增加了本题难度．