Question

5．地球赤道上的物体随地球自转的向心加速度为a；假设月球绕地球作匀速圆周运动，轨道半径为r₁，向心加速度为a₁．已知万有引力常量为G，地球半径为R．下列说法中正确的是（　　）

• A． 地球质量M=$\frac{a{R}^{2}}{G}$
• B． 地球密度ρ=$\frac{3{a}_{1}{r}_{1}^{2}}{4πG{R}^{3}}$
• C． 地球的第一宇宙速度为$\sqrt{aR}$
• D． 向心加速度之比$\frac{{a}_{1}}{a}$=$\frac{{R}^{2}}{{η}^{2}}$

Answer 1

分析 根据月球绕地球的轨道半径和向心加速度，结合万有引力提供向心力求出地球的质量，从而结合地球的体积求出地球的密度．根据万有引力提供向心力求出地球的第一宇宙速度．

解答 解：A、根据$G\frac{Mm}{{{r}_{1}}^{2}}=m{a}_{1}$得，地球的质量M=$\frac{{a}_{1}{{r}_{1}}^{2}}{G}$，故A错误．
B、地球的密度$ρ=\frac{M}{V}=\frac{\frac{{a}_{1}{{r}_{1}}^{2}}{G}}{\frac{4π{R}^{3}}{3}}$=$\frac{3{a}_{1}{{r}_{1}}^{2}}{4πG{R}^{3}}$，故B正确．
C、根据$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{R}$得，地球的第一宇宙速度v=$\sqrt{\frac{GM}{R}}=\sqrt{\frac{{a}_{1}{{r}_{1}}^{2}}{R}}$，故C错误．
D、赤道上物体靠万有引力和支持力的合力提供向心力，根据题目条件无法求出向心加速度之比．故D错误．
故选：B．

点评 解决本题的关键掌握万有引力提供向心力这一重要理论，并能灵活运用，知道第一宇宙速度等于贴近星球表面做匀速圆周运动的速度．