Question

如图19－12所示，在竖直平面内，粗糙的斜面轨道AB的下端与光滑的圆弧轨道BCD相切于B点，C点是最低点，圆心角∠BOC＝37°，D点与圆心O等高，圆弧轨道半径R＝1.0 m，现在一个质量为m＝0.2 kg可视为质点的小物体，从D点的正上方E点处自由下落，DE距离h＝1.6 m，小物体与斜面AB之间的动摩擦因数μ＝0.5.取sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，g＝10 m/s².求：

图19－12

(1)小物体第一次通过C点时轨道对小物体的支持力F_N的大小；

(2)要使小物体不从斜面顶端飞出，斜面的长度L_AB至少要多长；

(3)若斜面已经满足(2)中的要求，小物体从E点开始下落，直至最后在光滑圆弧轨道做周期性运动，在此过程中系统因摩擦所产生的热量Q的大小．

Answer 1

解析：(1)小物体从E到C，由机械能守恒定律得

mg(h＋R)＝mv　①

在C点，由牛顿第二定律得：F_N－mg＝m　②

联立①②解得F_N＝12.4 N.

(2)从E→D→C→B→A过程，由动能定理得

W_G－W_阻＝0　③

W_G＝mg[(h＋Rcos37°)－L_ABsin37°]　④

W_阻＝μmgcos37°L_AB　⑤

联立③④⑤解得L_AB＝2.4 m.

(3)因为mgsin37°>μmgcos37°(或μ<tan37°)，

所以，小物体不会停在斜面上，小物体最后以C为中心，B为一侧最高点沿圆弧轨道做往返运动．

从E点开始直至稳定，系统因摩擦所产生的热量，

Q＝ΔE　⑥

ΔE＝mg(h＋Rcos37°)　⑦

联立⑥⑦解得Q＝4.8 J.

答案：(1)12.4 N　(2)2.4 m　(3)4.8 J