Question

如图所示，质量为m的小物块放在长直水平面上，用水平细线紧绕在半径为R、质量为2m的薄壁圆筒上．t=0时刻，圆筒在电动机带动下由静止开始绕竖直中心轴转动，转动中角速度满足ω=β₁t（β₁为已知常数），物块和地面之间动摩擦因数为μ．求：

（1）物块做何种运动？请说明理由．

（2）物块运动中受到的拉力．

（3）从开始运动至t=t₁时刻，电动机做了多少功？

（4）若当圆筒角速度达到ω₀时，使其减速转动，并以此时刻为t=0，且角速度满足ω=ω₀－β₂t（式中ω₀、β₂均为已知），则减速多长时间后小物块停止运动？

Answer 1

【知识点】动能定理；牛顿第二定律． C2 E2

【答案解析】（1）物块做初速为零的匀加速直线运动；（2）μmg+m Rβ₁；（3）μmgRβ₁t₁²+m(Rβ₁t₁)²；（4）若a≤μg，减速时间后小物块停止运动；若a＞μg，减速时间后小物块停止运动． 解析：（1）圆筒边缘线速度与物块前进速度大小相同

根据v=ωR=Rβ₁t，线速度与时间成正比，物块做初速为零的匀加速直线运动   

（2）由（1）问分析结论，物块加速度为a= Rβ₁              

根据物块受力，由牛顿第二定律得 T－μmg=ma            

则细线拉力为 T=μmg+m Rβ₁                                 

（3）对整体运用动能定理，有W_电+W_f =                    

其中W_f =－μmgs = －μm g                 

则电动机做的功为  W_电= μmg  +      

（或对圆筒分析，求出细线拉力的做功，结果正确同样给分）

（4）圆筒减速后，边缘线速度大小v=ωR=ω₀R－Rβ₂t，线速度变化率为a= Rβ₂

若a≤μg，细线处于拉紧状态，物块与圆筒同时停止，物块减速时间为 t=ω₀/β₂

若a>μg，细线松弛，物块水平方向仅受摩擦力，物块减速时间为t=ω₀R/μg 

【思路点拨】（1）根据公式v=ωR求解出线速度表达式进行分析即可；（2）受力分析后根据牛顿第二定律列式求解拉力；（3）电动机做的功等于细线对滑块拉力做的功，对滑块的加速过程根据动能定理列式求解即可；（4）分细线拉紧和没有拉紧两种情况分析．本题提到了角加速度这个新的概念，关键是推导出滑块的线速度公式进行分析，将转动的研究转化为平动的研究进行分析．