Question

7．太阳与地球的距离为1.5×10¹¹m，地球的公转周期为1年．假设太阳系等比例缩小．即天体的直径和间距同比例变小；且各天体的平均密度不变．当太阳与地球的距离减小为0.75×10¹¹m时，地球的公转周期为（　　）

• A． 2年
• B． 1年
• C． $\frac{\sqrt{2}}{2}$年
• D． $\frac{\sqrt{2}}{4}$年

Answer 1

分析 由密度不变，半径变化可求得天体的质量变化；由万有引力充当向心力可得出变化以后的公转周期的变化情况．

解答 解：设天体原来的半径为r，太阳和地球原来的距离为R，当太阳与地球的距离减小为0.75×10¹¹m=$\frac{1}{2}$×1.5×10¹¹m时，
由于天体的密度不变而半径减半，导致天体的质量减小，所以有$M′=\frac{4}{3}π（\frac{r}{2}）^{3}=\frac{M}{8}$
地球绕太阳做圆周运动由万有引力充当向心力．所以有$G\frac{{M}_{日}′{M}_{地}′}{（\frac{R}{2}）^{2}}={M}_{地}′\frac{4{π}^{2}\frac{R}{2}}{{T}^{2}}$，整理得${T}^{2}=\frac{4{π}^{2}{R}^{3}}{GM}$，与原来相同，即公转周期不变，仍为1年，故B正确．
故选：B．

点评 天体的运动中都是万有引力充当向心力，因向心力的表达式有多种，故应根据题目中的实际情况确定该用的表达式．