Question

5．有一颗行星，它的质量和半径都是地球的一半．试求：
（1）该行星第一宇宙速度为多大？
（2）环绕这颗行星表面运行的人造卫星的向心加速度是多大？
（3）在这颗行星表面将某一物体以19.6m/s的速度竖直上抛，物体经多长时间又落回到行星表面？

Answer 1

分析 （1、2）根据万有引力提供向心力$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{R}=ma$，解出速度、加速度与轨道中心天体的质量和半径的关系，再根据已知的比值计算大小；
（3）求出星球表面重力加速度，根据竖直上抛基本公式求解时间．

解答 解：（1）第一宇宙速度是在星球表面绕星球做匀速圆周运动的速度，在星球表面有：
$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{R}$
解得：v=$\sqrt{\frac{GM}{R}}$，则$\frac{v}{{v}_{地}}=\sqrt{\frac{{M}_{星}{R}_{地}}{{M}_{地}{R}_{星}}}=1$，而v_地=7.9km/s，所以该行星第一宇宙速度v=v_地=7.9km/s，
（2）根据$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=ma$得：
a=$G\frac{M}{{R}^{2}}$，则$\frac{a}{g}=\frac{{M}_{星}{{R}_{地}}^{2}}{{M}_{地}{{R}_{星}}^{2}}=2$，而g=9.8m/s²，所以环绕这颗行星表面运行的人造卫星的向心加速度a=19.6m/s²，
（3）这颗行星表面重力加速度a=19.6m/s²，
则这颗行星表面将某一物体以19.6m/s的速度竖直上抛，回到星球表面的时间t=$\frac{2{v}_{0}}{a}=\frac{2×19.6}{19.6}=2s$
答：（1）该行星第一宇宙速度为7.9km/s；
（2）环绕这颗行星表面运行的人造卫星的向心加速度是19.6m/s²；
（3）在这颗行星表面将某一物体以19.6m/s的速度竖直上抛，物体经2s又落回到行星表面．

点评 本题主要考查了万有引力提供向心力公式的直接应用，要能够根据题意选择恰当的向心力的表达式，难度适中．