Question

20．如图所示，倾角为θ的斜面固定在水平面上，其表面粗糙斜，一个质量为m的物体被水平力F推着静止于斜面上，已知物体与斜面间的动摩擦因数为μ，并且μ＜tanθ，求：若物体始终静止在斜面上，力F的取值应满足什么范围？

Answer 1

分析 由于μ＜tanθ，当推力为零时，重力的下滑分量会大于最大静摩擦力，会加速下滑．用推力推住不动，推力较小时有下滑趋势，静摩擦力沿斜面向上；推力较大时有上滑趋势，静摩擦力沿斜面向下．找出即将向上滑动和即将向下滑动的两种临界情况，得出推力的范围．

解答 解：当摩擦力沿斜面向下且达到最大值时，F最大，有

F₁cosθ=f+mgsinθ
N=F₁sinθ+mgcosθ
f=μN，
得：F₁=$\frac{sinθ-μcosθ}{μsinθ+cosθ}$mg
当摩擦力沿斜面向上且达到最大值时，F最小，有

F₂cosθ+f=mgsinθ
N=F₂sinθ+mgcosθ
f=μN
得：F₂=$\frac{μcosθ-sinθ}{cosθ-μsinθ}$mg
所以 $\frac{sinθ-μcosθ}{μsinθ+cosθ}$mg≤F≤$\frac{μcosθ-sinθ}{cosθ-μsinθ}$mg
答：F的取值范围为$\frac{sinθ-μcosθ}{μsinθ+cosθ}$mg≤F≤$\frac{μcosθ-sinθ}{cosθ-μsinθ}$mg．

点评 本题关键找出即将要向上滑动和即将要向下滑动的两个临界状态，对物体受力分析，根据共点力平衡条件，列出方程求解．