Question

17．如图所示，AD为竖直边，OD为水平边．光滑斜面AO、BO 和CO，斜面倾角依次为60°、45°和30°．物体分别从A、B、C静止开始下滑到O点所用时间分别为t₁、t₂和t₃．则下列关系式正确的是（　　）

• A． t₁=t₂=t₃
• B． t₁＞t₂＞t₃
• C． t₁＜t₂＜t₃
• D． t₁=t₃＞t₂

Answer 1

分析 先受力分析后根据牛顿第二定律计算出小物体沿任意一斜面滑动的加速度，然后根据位移时间关系公式计算出时间，对表达式分析，得出时间与各因素的关系后得出结论．

解答 解：对小物块，受重力和支持力，将重力沿杆的方向和垂直杆的方向正交分解，
根据牛顿第二定律得小物块做初速为零的匀加速直线运动的加速度为a=gcosθ（θ为斜面与竖直方向的夹角）
设水平方向直角边长为s，由图中的直角三角形可知，小物块的位移x=$\frac{s}{sinθ}$
根据x=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$得：
t=$\sqrt{\frac{2x}{a}}=\sqrt{\frac{2s}{gsinθcosθ}}$
带入角度可知：t₁=$\sqrt{\frac{2s}{gsin30°cos30°}}=\sqrt{\frac{2s}{g\frac{\sqrt{3}}{4}}}$，
t₂=$\sqrt{\frac{2s}{gsin45°cos45°}}=\sqrt{\frac{2s}{\frac{1}{2}g}}$，
t₃=$\sqrt{\frac{2s}{gsin30°cos30°}}=\sqrt{\frac{2s}{g\frac{\sqrt{3}}{4}}}$．
故t₁=t₃＞t₂，
故选：D

点评 本题关键从众多的杆中抽象出一根杆，假设其与水平方向的夹角为θ，然后根据牛顿第二定律求出加速度，再根据运动学公式求出时间表达式讨论．