Question

6．一质量M=2m、长为L的长木板固定在水平地面上，一质量为m的小滑块以水平速度v₀从长木板的一端开始在木板上滑动，最终恰好离开木板．
（1）试求小滑块与长木板间的动摩擦因数μ．
（2）若把该长木板静止放在光滑水平地面上，则小滑块至少要以多大的初速度v从长木板的一端开始在长木板上滑动，才能离开长木板．

Answer 1

分析 （1）以物块作为研究对象，对物块进行受力分析，对物块应用牛顿第二定律结合运动学规律解决；
（2）分别对木板和物块进行受力分析，对木板和物块分别应用牛顿第二定律结合运动学规律，最后利用滑离木板的临界条件，找到二者位移满足的关系，即：共速时，二者相对位移等于木板长度，由此求解初速度的最小值．

解答 解：（1）设摩擦力大小为f，支持力大小为F_N，重力加速大小为g，小物块的加速度为a₁
 小物块受力情况如图所示，
在竖直方向小滑块受力平衡：mg=F_N
根据滑动摩擦公式：f=μF_N
在水平方向对小物块运用牛顿第二定律：f=ma₁ 
在水平方向对小物块运用运动学规律：-2a₁L=0-v₀²
联立以上各式可得：μ=$\frac{{v}_{0}^{2}}{2gL}$；
（2）离开长木板的条件是恰好共速时离开木板．画出运动过程图如图所示，
设开始运动到共速，物块的位移为x₁，木板的位移为x₂，木板受摩擦力为f′，最终二者共同的速度为v_共，从开始运动到共速的时间为t
 小物块做匀减速直线运动，木板做匀加速直线运动
小物块受力情况与（1）相同，所以此过程小物块加速度的大小仍为a₁=μg①
对木板受力分析，水平方向对其运用牛顿第二定律：f′=Ma₂  
牛顿第三定律得：f′=f，可求a₂=$\frac{1}{2}$μg②
对木板和小物块分别运用匀变速直线运动，木板：v_共=a₂t ③小物块：v_共=v-a₁t ④
由①②③④式联立可得：v_共=$\frac{1}{3}$v⑤
对木板和小物块分别运用匀变速直线运动，木板：2a₂x₂=v_共²⑥小物块：-2a₁x₁=v_共²-v²⑦
小物块恰好离开长木板时满足：x₁-x₂=L⑧
第一问结果与①②⑤⑥⑦⑧式联立得：v=$\frac{\sqrt{6}}{2}{v}_{0}$．
答：（1）小滑块与长木板间的动摩擦因数为$\frac{{v}_{0}^{2}}{2gL}$；
（2）若把该长木板静止放在光滑水平地面上，则小滑块至少要以初速度$\frac{\sqrt{6}}{2}{v}_{0}$从长木板的一端开始在长木板上滑动，才能离开长木板．

点评 对于牛顿第二定律的综合应用问题，关键是弄清楚物体的运动过程和受力情况，利用牛顿第二定律或运动学的计算公式求解加速度，再根据题目要求进行解答；知道加速度是联系静力学和运动学的桥梁；此题难度不大，牢记离开木板的临界条件；第二问也可以用动量守恒定律结合动能定理的整体法去解决．