Question

18．周日游乐场里，小新在父母的陪伴下坐滑梯玩． 模型如图所示，滑梯可以看成是由斜槽AB和水平槽CD组成，中间用很短的光滑圆弧槽BC连接．小新质量为m，可视为质点，小新从斜槽的顶点A由静止开始滑下，最后停在水平槽上的E点，由A到E的水平距离设为L．他与斜槽和水平槽间的动摩擦因数都为μ，A点与水平槽CD的高度差为h．
（1）求小新从A点滑到E点的过程中，重力做的功和克服摩擦力做的功．
（2）假设你为设计师，请向小新父母说明，小新沿滑梯滑下通过的水平距离L与斜槽AB跟水平面的夹角无关．
（3）为了孩子的安全，要使小新沿滑梯滑下过程中的最大速度不超过v，斜槽与水平面的夹角不能超过多少？

Answer 1

分析 （1）重力做功与路径无关，只与初末位置有关；根据动能定理列式求解克服摩擦力做的功．
（2）对全程根据动能定理列式求解水平槽上滑行的位移表达式进行讨论．
（3）对小孩在斜面上加速过程过程运用动能定理列式，求解出最大速度的表达式进行讨论即可．

解答 解：（1）小新从A点滑到E点的过程中，重力做功 W=mgh
小新由静止开始滑下最后停在E点，在整个过程中克服摩擦力做功设为W₁，由动能定理得
   mgh-W₁=0
则得克服摩擦力做功为 W₁=mgh
（2）设斜槽AB与水平面的夹角为α，小新在斜槽上受重力mg，支持力F_N1和滑动摩擦力f₁
则   f₁=μmgcosα
小新在水平槽上受重力mg、支持力F_N2和滑动摩擦力f₂
    f₂=μmg
小新从A点由静止滑下，最后停在E点，由动能定理得
    mgh-μmgcosα•$\frac{h}{sinα}$-μmg（L-h•cotα）=0 
解得 L=$\frac{h}{μ}$，它与角α无关
（3）小新沿滑梯滑下的过程中，通过B点的速度最大，显然，倾角α越大，通过B点的速度越大，设倾角为α₀时有最大速度v，由动能定理得
   mgh-μmgcosα₀•$\frac{h}{sin{α}_{0}}$=$\frac{1}{2}$mv²
解得最大倾角 α₀=arccot（$\frac{2gh-{v}^{2}}{2μgh}$）
答：
（1）小新从A点滑到E点的过程中，重力做的功为mgh，克服摩擦力做的功也为mgh；
（2）小新沿滑梯滑下通过的水平距离L与斜槽AB跟水平面的夹角无关，证明如上；
（3）要使儿童沿滑梯滑下过程中的最大速度不超过v，斜槽与水平面的夹角不能超过arccot（$\frac{2gh-{v}^{2}}{2μgh}$）．

点评 本题中小孩从A到E过程中克服摩擦力做功等于μmgL，可以作为结论记住，根据该原理还可以测量动摩擦因数．