Question

11．如图所示，斜面倾角为θ，在斜面底端垂直斜面固定一挡板，轻质弹簧一端固定在挡板上，质量为M=1kg的木板与轻弹簧接触但不拴接，弹簧与斜面平行，且为原长，在木板右端放一质量为m=2kg的小金属块，金属块与木板间的动摩擦因数为μ₁=0.75，木板与斜面间的动摩擦因数为μ₂=0.25，系统处于静止状态．小金属块突然获得一个大小为v₁=5.3m/s、方向平行斜面向下的速度，经过时间t=0.75s，金属块与木板相对静止，此时弹簧被压缩x=0.5m（弹簧处于弹性限度内）已知sin θ=0.28、cos θ=0.96，g取10m/s²
（1）求木板开始运动瞬间的加速度大小；
（2）求金属块与木板相对静止时弹簧的弹性势能．

Answer 1

分析 （1）运用隔离法分别对金属块和长木板进行受力分析，根据牛顿第二定律求加速度；
（2）根据动能定理求得弹簧压缩过程中做的功，再根据弹力做功与弹性势能变化的关系求得弹簧的弹性势能；

解答 解（1）对金属块，由牛顿第二定律可知加速度大小为
a=μ₁gcosθ-gsinθ=0.75×10×0.96-10×0.28m/s²=4.4m/s²，沿斜面向上
木板受到金属块的滑动摩擦力F₁=μ₁mgcosθ=0.75×2×10×0.96N=14.4N，沿斜面向下
木板受到斜面的滑动摩擦力
F₂=μ₂（M+m）gcosθ=0.25×（1+2）×10×0.96N=7.2N，沿斜面向上
木板开始运动瞬间的加速度a₀=$\frac{Mgsinθ+F1-F2}{M}$=$\frac{1×10×0.28+14.4-7.2}{1}m/{s}^{2}$=10m/s²，沿斜面向下
（2）设金属块和木板达到共同速度为v₂，对金属块，应用速度公式有
v₂=v₁-at=5.3-4.4×0.75m/s=2.0m/s
在此过程中分析木板，设弹簧对木板做功为W，其余力做功为W_x，
对木板运用动能定理得：W_x+W=$\frac{1}{2}$Mv${\;}_{2}^{2}$
又由受力分析得W_x=[μ₁mgcosθ+Mgsinθ-μ₂（M+m）gcosθ]x
[μ₁mgcosθ+Mgsinθ-μ₂（M+m）gcosθ]x+W=$\frac{1}{2}$M${v}_{2}^{2}$
代入相关数据解得：解得W=-3.0J，说明此时弹簧的弹性势能E_p=3.0J
答：（1）木板开始运动瞬间的加速度为10m/s²方向沿斜面向下；
（2）弹簧被压缩到P点时的弹性势能是3.0J；

点评 在应用牛顿运动定律和运动学公式解决问题时，要注意运动过程的分析，此类问题，还要对整个运动进行分段处理．