Question

5．如图所示，固定斜面倾角θ=30°，轻绳一端通过两个滑轮与放在斜面上的物块P相连接，另一端固定在天花板上，不计绳与滑轮的摩擦及滑轮的质量．已知物块P的质量为m，在动滑轮上挂上物块Q后，连接物块的轻绳与斜面平行，当动滑轮两侧轻绳的夹角α=60°时，物块P、Q均保持静止．
（1）若斜面光滑，求物块Q的质量m；
（2）如物块P与斜面间的动摩擦因数μ恒为$\frac{\sqrt{3}}{6}$，其间的最大静摩擦力与滑动摩擦力大小相等，求物块Q的质量M应满足条件．

Answer 1

分析 （1）先对P受力分析，运用共点力平衡条件求出细线的拉力，再对Q受力分析，再次运用共点力平衡条件求Q的质量；
（2）若斜面与P之间有摩擦力，当摩擦力到达最大值且方向沿斜面向下时，绳子拉力最大，此时Q的质量最大，当摩擦力到达最大值且方向沿斜面向上时，绳子拉力最小，此时Q的质量最小，根据共点力平衡条件求出绳子的最大拉力和最小拉力，再对Q受力分析，根据平衡条件求出质量的范围．

解答 解：（1）若斜面光滑，先对P受力分析，根据共点力平衡条件得：
绳子拉力T=$mgsin30°=\frac{1}{2}mg$
再对Q受力分析，Q受到两根绳子的拉力以及重力作用，受力平衡，根据共点力平衡条件得：
2Tcos$\frac{α}{2}$=Mg
解得：M=$\frac{\sqrt{3}}{2}m$
（2）若斜面与P之间有摩擦力，当摩擦力到达最大值且方向沿斜面向下时，绳子拉力最大，此时Q的质量最大，
当摩擦力到达最大值且方向沿斜面向上时，绳子拉力最小，此时Q的质量最小，
根据共点力平衡条件得：
T_max=mgsin30°+μmgcos30°=$\frac{3}{4}mg$，
${T}_{min}=mgsin30°-μmgcos30°=\frac{1}{4}mg$，
再对Q受力分析，Q受到两根绳子的拉力以及重力作用，受力平衡，根据共点力平衡条件得：
2T_maxcos$\frac{α}{2}$=M_maxg，
2T_mincos$\frac{α}{2}$=M_ming，
解得：M_max=$\frac{3\sqrt{3}}{4}m$，M_min=$\frac{\sqrt{3}}{4}m$
则物块Q的质量M应满足条件为$\frac{\sqrt{3}}{4}m≤M≤\frac{3\sqrt{3}}{4}m$．
答：（1）若斜面光滑，物块Q的质量为$\frac{\sqrt{3}}{2}m$；
（2）如物块P与斜面间的动摩擦因数μ恒为$\frac{\sqrt{3}}{6}$，其间的最大静摩擦力与滑动摩擦力大小相等，则物块Q的质量M应满足条件为$\frac{\sqrt{3}}{4}m≤M≤\frac{3\sqrt{3}}{4}m$．

点评 本题关键是先后对物体P、Q受力分析，根据共点力平衡条件，结合合成法或正交分解法列式求解，知道当摩擦力到达最大值且方向沿斜面向下时，绳子拉力最大，此时Q的质量最大，当摩擦力到达最大值且方向沿斜面向上时，绳子拉力最小，此时Q的质量最小．