Question

12．如图所示，一固定容器的内壁是半径为R的半球面，在半球面水平直径的一端有一质量为m的质点P．它在容器内壁由静止下滑到最低点的过程中，克服摩擦力做的功为W．重力加速度大小为g．设质点P在最低点时，向心加速度的大小为a，速度为v，容器对它的支持力大小为N，则（　　）

• A． a=$\frac{2（mgR-W）}{mR}$
• B． v=$\sqrt{\frac{2（mgR-W）}{m}}$
• C． N=$\frac{3mgR-2W}{R}$
• D． N=$\frac{2（mgR-W）}{R}$

Answer 1

分析 质点P下滑的过程中，重力做正功，摩擦力做负功，根据动能定理求出质点P到达最低点时的速度，在最低点，质点受重力和支持力，根据合力提供向心力，列式求解．

解答 解：B、质点P下滑的过程，由动能定理得：mgR-W=$\frac{1}{2}m{v^2}$，
解得：v=$\sqrt{\frac{2（mgR-W）}{m}}$，故B正确；
A、在最低点，向心加速度为：a=$\frac{{v}^{2}}{R}$=$\frac{{{{（\sqrt{\frac{2（mgR-W）}{m}}）}^2}}}{R}$=$\frac{2（mgR-W）}{mR}$，故A正确；
CD、在最低点，支持力和重力的合力提供向心力，故：N-mg=ma，故N=m（g+a）=m[g+$\frac{2（mgR-W）}{mR}$]=$\frac{3mgR-2W}{R}$，故C正确，D错误；
故选：ABC

点评 解决本题的关键掌握动能定理解题，以及知道质点在B点径向的合力提供圆周运动的向心力．