Question

9．1mol的理想气体经历一循环过程1-2-3-1，如p-T图示所示，过程1-2是等压过程，过程3-1是通过p-T图原点的直线上的一段，描述过程2-3的方程为c₁p²+c₂p=T，式中c₁和c₂都是待定的常量，p和T分别是气体的压强和绝对温度．已知，气体在状态1的压强、绝对温度分别为P₁和T₁，气体在状态2的绝对温度以及在状态3的压强和绝对温度分别为T₂以及p₃和T₃．气体常量R也是已知的．
（1）求常量c₁和c₂的值；
（2）将过程1-2-3-1在p-v图示上表示出来；
（3）求该气体在一次循环过程中对外做的总功．

Answer 1

分析 （1）将2、3两个状态参量带入题目中的方程，联立方程组解得${c}_{1}^{\;}$，${c}_{2}^{\;}$
（2）利用气体状态方程表示出各状态的体积，过程2-3和3-1方程改写，过程3-1是等容降压过程，1-2是等压升温过程，画出符合条件的图象
（3）气体在一次循环中对外做的总功等于p-V图线包围的面积

解答 解：（1）设气体在状态i（i=1、2和3）下的压强、体积和绝对温度分别为${p}_{i}^{\;}$、${V}_{i}^{\;}$和${T}_{i}^{\;}$，由题设条件有：
${c}_{1}^{\;}{p}_{2}^{2}+{c}_{2}^{\;}p={T}_{2}^{\;}$…①
${c}_{1}^{\;}{p}_{3}^{2}+{c}_{2}^{\;}{p}_{3}^{\;}={T}_{3}^{\;}$…②
由此解得：${c}_{1}^{\;}=\frac{{T}_{2}^{\;}{p}_{3}^{\;}-{T}_{3}^{\;}{p}_{2}^{\;}}{{p}_{2}^{2}{p}_{3}^{\;}-{p}_{3}^{2}{p}_{1}^{\;}}=\frac{{T}_{2}^{\;}{p}_{3}^{\;}-{T}_{3}^{\;}{p}_{2}^{\;}}{{p}_{1}^{2}{p}_{3}^{\;}-{p}_{3}^{2}{p}_{1}^{\;}}$…③
${c}_{2}^{\;}=\frac{{T}_{2}^{\;}{p}_{3}^{2}-{T}_{3}^{\;}{p}_{2}^{2}}{{p}_{2}^{\;}{p}_{3}^{2}-{p}_{2}^{2}{p}_{3}^{\;}}=\frac{{T}_{2}^{\;}{p}_{3}^{2}-{T}_{3}^{\;}{p}_{1}^{2}}{{p}_{1}^{\;}{p}_{3}^{2}-{p}_{1}^{2}{p}_{3}^{\;}}$…④
（2）利用气体状态方程pV=RT，以及${V}_{1}^{\;}=R\frac{{T}_{1}^{\;}}{{p}_{1}^{\;}}$，${V}_{2}^{\;}=R\frac{{T}_{2}^{\;}}{{p}_{2}^{\;}}$，${V}_{3}^{\;}=R\frac{{T}_{3}^{\;}}{{p}_{3}^{\;}}$…⑤
可将过程2-3的方程改写为：$\frac{{V}_{2}^{\;}-{V}_{3}^{\;}}{{p}_{2}^{\;}-{p}_{3}^{\;}}p=V+\frac{{V}_{2}^{\;}{p}_{3}^{\;}-{V}_{3}^{\;}{p}_{2}^{\;}}{{p}_{2}^{\;}-{p}_{3}^{\;}}$…⑥
可见，在p-V图示上过程2-3是以$（{p}_{2}^{\;}，{V}_{2}^{\;}）$和$（{p}_{3}^{\;}，{V}_{3}^{\;}）$为状态端点的直线段，在p-T图示中，过程3-1是通过原点的直线上的一段，因而描述其过程的方程为
$\frac{p}{T}={c}_{3}^{\;}$…⑦
式中，${c}_{3}^{\;}$是一常量．利用pV=RT，可将过程3-1的方程改写为：
$V=\frac{R}{{c}_{3}^{\;}}={V}_{3}^{\;}={V}_{1}^{\;}$…⑧
这是以$（{p}_{3}^{\;}，{V}_{3}^{\;}）$和$（{p}_{1}^{\;}，{V}_{1}^{\;}）$为状态端点的等容降压过程，
综上所述，过程1-2-3-1在p-V图示上是一直角三角形，如图所示

（3）气体在一次循环过程中对外做的总功为：
$W=-\frac{1}{2}（{p}_{3}^{\;}-{p}_{1}^{\;}）（{V}_{2}^{\;}-{V}_{1}^{\;}）$…⑨
利用气体状态方程pV=RT和⑤式，上式即：
$W=-\frac{1}{2}R（{T}_{2}^{\;}-{T}_{1}^{\;}）（\frac{{p}_{3}^{\;}}{{p}_{1}^{\;}}-1）$…⑩
答：（1）求常量${c}_{1}^{\;}$的值为$\frac{{T}_{2}^{\;}{p}_{3}^{\;}-{T}_{3}^{\;}{p}_{2}^{\;}}{{p}_{1}^{2}{p}_{3}^{\;}-{p}_{3}^{2}{p}_{1}^{\;}}$和${c}_{2}^{\;}$的值为$\frac{{T}_{2}^{\;}{P}_{3}^{2}-{T}_{3}^{\;}{p}_{1}^{2}}{{p}_{1}^{\;}{p}_{3}^{2}-{p}_{1}^{2}{p}_{3}^{\;}}$；
（2）将过程1-2-3-1在p-v图示上表示出来，如图所示；
（3）求该气体在一次循环过程中对外做的总功$-\frac{1}{2}R（{T}_{2}^{\;}-{T}_{1}^{\;}）（\frac{{p}_{3}^{\;}}{{p}_{1}^{\;}}-1）$

点评 本题题目长，阅读量大，解决本题的关键是利用气体状态方程的应用，知道图象的状态变化的特点，注意在p-V图象中，图线与坐标轴围成的面积表示做的功．