Question

18．如图所示，小球P用长L=1m的细绳系着，在水平面内绕O点做匀速圆周运动，其角速度ω=2πrad/s．另一质量m=1kg的小球Q放在高出水平面h=0.8m的光滑水平槽上，槽口A点在O点正上方．当小球Q受到水平恒力F作用时，P球恰好在水平槽的正下方，水平槽与绳平行，Q运动到A时，力F自然取消（g取10m/s²）．
（1）恒力F的表达式为何值，两小球可能相碰？（用m，L，ω，h，g表示）
（2）在满足（1）条件的前提下，求Q运动到槽口的最短时间和相应的Q在槽上滑行的距离．

Answer 1

分析 （1）先根据牛顿第二定律和运动学公式表示出球Q到达A点的速度，然后由平抛运动规律表示出球Q平抛下落的时间，由圆周运动周期公式表示出P到达最左端的时间，列式时注意P球运动的周期性；
（2）P球运动半圈时有最短时间，由上题结果求解．

解答 解：（1）为了保证两球相碰，球Q从A点飞出水平射程为L，设飞出时的速度为v，则：
由牛顿第二定律：F=ma
球的速度：v=at
从A点飞出后做平抛运动：
L=vt′，
h=$\frac{1}{2}$gt′²
要使两球相碰应有：$\sqrt{\frac{2h}{g}}$+t=（$\frac{1}{2}$+k）$\frac{2π}{ω}$
解以上各式得：F=$\frac{mgLω}{（2k+1）π\sqrt{2gh}-2hω}$，（k=0，1，2…）
（2）由（1）知k=0时t最短，t_min=0.1s
同时得：F_min=25N
所以球Q在槽上滑行的距离为：x=$\frac{1}{2}•\frac{{F}_{min}}{m}{t}_{min}^{2}$=$\frac{1}{2}$×$\frac{25}{2}$×0.1²=0.125m
答：（1）恒力F的表达式为F=$\frac{mgLω}{（2k+1）π\sqrt{2gh}-2hω}$，（k=0，1，2…），两小球可能相碰．
（2）在满足（1）条件的前提下，Q运动到槽口的最短时间是0.1s，相应的Q在槽上滑行的距离是0.125m．

点评 本题涉及了匀变速直线运动、圆周运动、平抛运动，根据不同的运动形式选择不同的运动规律，用时间相等将它们联系起来是关键．解题时要注意圆周运动的周期性．