Question

14．如图所示，高度h=0.8m的光滑导轨AB位于竖直平面内，其末端与长度L=0.7m的粗糙水平导轨BC相连，BC与竖直放置内壁光滑的半圆形管道CD相连，半圆的圆心O在C点的正下方，C点离地面的高度H=1.25m．一个质量m=1kg的小滑块（可视为质点），从A点由静止下滑，小滑块与BC段的动摩擦因数μ=0.5，重力加速度g取10m/s²，不计空气阻力．
（1）求小滑块在水平导轨BC段运动的时间；
（2）若半圆的半径r=0.5m，求小滑块刚进入圆管时对管壁的弹力；
（3）若半圆形管道半径可以变化，则当半径为多大时，小滑块从其下端射出的水平距离最远？最远的水平距离为多少？

Answer 1

分析 （1）先研究小滑块在AB段下滑的过程，运用机械能守恒定律求出滑块进入水平导轨BC的初速度．由牛顿第二定律求得滑块在BC段运动的加速度，最后由位移公式求时间．
（2）由速度时间公式求出滑块到达C点的速度．在C点，由合力提供向心力，由牛顿定律求小滑块刚进入圆管时对管壁的弹力．
（3）由动能定理和平抛运动的规律得到水平距离与轨道半径的关系式，再由数学知识求解．

解答 解：（1）设进入水平导轨BC的初速度为v_B，由机械能守恒定律有：
  $mgh=\frac{1}{2}mv_B^2$
得 ${v_B}=\sqrt{2gh}=4m/s$
滑块在BC段所受的摩擦力为 f=μmg
加速度     $a=\frac{f}{m}=μ•g=5m/{s^2}$
由$x={v_B}t-\frac{1}{2}a{t^2}$
解得     t=0.2s
（2）滑块到达C点的速度 v_C=v_B-at=3m/s
在C点，由牛顿第二定律得 ${F_N}+mg=\frac{{m{v^2}}}{r}$
代入数据可得   F_N=8N，方向竖直向下
所以小滑块刚进入圆管时对管壁的弹力大小为8N，方向竖直向上                
（3）设平抛运动的时间为t，则有：$H-2r=\frac{1}{2}g{t^2}$
水平射程为：x=v_Dt
从C到D的过程，由动能定理：$mg•2r=\frac{1}{2}mv_D^2-\frac{1}{2}mv_C^2$
解得  $x=\sqrt{\frac{2（H-2r）}{g}}\sqrt{（v_C^2+4gr）}$
当r=0.2m时水平射程最远．最远距离为x_m=1.7m．
答：
（1）小滑块在水平导轨BC段运动的时间是0.2s；
（2）若半圆的半径r=0.5m，小滑块刚进入圆管时对管壁的弹力大小为8N，方向竖直向上；
（3）若半圆形管道半径可以变化，则当半径为0.2m时，小滑块从其下端射出的水平距离最远，最远的水平距离为1.7m．

点评 解决本题时，要注意理清滑块的运动过程，把握每个过程的物理规律，知道圆周运动向心力的来源：指向圆心的合力．运用动能定理和平抛规律得到水平距离的解析式是关键