Question

（2013?安庆二模）图中左侧部分为过山车简易模型装置，它是由弧形轨道PQ、竖直圆轨道MQ和水平轨道QN组成．所有轨道都光滑且之间均平滑对接，圆形轨道半径R=0.5m，一质量为m₁=1kg的小球a从离水平轨道高为h=5m的地方沿弧形轨道静止滑下，经圆轨道运动一周后与静止在N处的小物块b发生正碰，碰后小球a沿原路返回到M点时，对轨道的压力恰好为0．碰后小物块b滑上一足够长的木板c上，已知物块b与木板c之间的动摩擦因数为μ₁=0.4，木板c与地面之间的动摩擦因数μ₂=0.1，物块b的质量为m₂=3kg，木板c的质量为m₃=4.5kg，g取10m/s²，求：
（1）小球a第一次经过圆形轨道最低点时的速度；
（2）碰后瞬间小物块b的速度；
（3）木板c运动的总位移．

Answer 1

分析：1、球a从P点运动到圆形轨道最低点Q过程，根据机械能守恒定律求出Q的速度
2、根据牛顿第二定律求出球返回到圆轨道最高点M时的速度，球由N返回到M的过程中，根据动能定理列出等式，
再根据球a与物块b组成的系统动量守恒求解．
3、分析物块b和木板c的运动情况，根据牛顿第二定律和运动学公式求解．

解答：解：（1）设球a从P点运动到圆形轨道最低点Q时的速度大小为v，
根据机械能守恒定律：
m1gh=

1

2

m1v2
解得：v=10m/s，方向水平向右        
（2）设球a与物块b碰撞后的速度大小分别为v₁、v₂，
球返回到圆轨道最高点M时的速度大小为v′₁
根据牛顿第二定律，由向心力公式得：
m1g=m1

v′1 2

R

球由N返回到M的过程中，根据动能定理得：
-m1g?2R=

1

2

m1v′1 2-

1

2

m1v12
球a与物块b发生无机械能损失的弹性正碰，由于轨道光滑，球a碰撞前的速度与第一次到轨道最低点的速度相等，
该过程中球a与物块b组成的系统动量守恒，规定向右为正方向，
故：m₁v=-m₁v₁+m₂v₂
联立解得：v₂=5m/s    方向水平向右            
（3）物块b滑上木板c时，设物块b和木板c的加速度大小分别a₁，a₂，两者经过时间达到共同的速度v₃．
木块在此过程中的位移为x₁，根据牛顿第二定律得：
μ₁m₂g=m₂a₁
μ₁m₂g-μ₂（m₂+m₃）g=m₃a₂
根据运动学公式得：
v₃=v₂-a₁t
v₃=a₂t
x1=

1

2

a2t2
联立解得：x₁=0.5m，v₃=1m/s
达共同速度后，物块b和木板c一道做匀减速直线运动直至停止，设该过程中减速的位移为x₂
由动能定理得：-μ2(m2+m3)gx2=0-

1

2

(m2+m3)v32
解得：x₂=0.5m
则木板c的总位移x=x₁+x₂=1m，方向水平向右．
答：（1）小球a第一次经过圆形轨道最低点时的速度大小是10m/s，方向水平向右；
（2）碰后瞬间小物块b的速度大小是5m/s，方向水平向右；
（3）木板c运动的总位移大小是1m，方向水平向右．

点评：本题涉及到三个物体，多个运动过程，属于多体多过程问题，难度较大，是一道难题；分析清楚物体运动过程是正确解题的前提与关键．