Question

9．一同学要研究轻质弹簧的弹性势能与弹簧长度改变量的关系．实验装置如下图甲所示，在离地面高为h的光滑水平桌面上，沿着与桌子右边缘垂直的方向放置一轻质弹簧，其左端固定，右端与质量为m的小刚球接触．将小球向左压缩弹簧一段距离后由静止释放，使小球沿水平方向射出桌面，小球在空中飞行落到位于水平地面的记录纸上留下痕迹．重力加速度为g

（1）若测得某次压缩弹簧释放后小球落点P痕迹到O点的距离为s，则释放小球前弹簧的弹性势能表达式为$\frac{mg{s}^{2}}{4h}$；
（2）该同学改变弹簧的压缩量进行多次测量得到下表一组数据：

弹簧压缩量x/cm	1.00	1.50	2.00	2.50	3.00	3.50
小球飞行水平距离s/×102cm	2.01	3.00	4.01	4.98	6.01	6.99

结合（1）问与表中数据，弹簧弹性势能与弹簧压缩量x之间的关系式应为$\frac{1{0}^{4}mg{x}^{2}}{h}$；
（3）完成实验后，该同学对上述装置进行了如图乙所示的改变：
（I）在木板表面先后钉上白纸和复写纸，并将木板竖直立于靠近桌子右边缘处，使小球向左压缩弹簧一段距离后由静止释放，撞到木板并在白纸上留下痕迹O；
（II）将木板向右平移适当的距离固定，再使小球向左压缩弹簧一段距离后由静止释放，撞到木板上得到痕迹P；
（III）用刻度尺测量纸上O点到P点的竖直距离为y．若已知木板与桌子右边缘的水平距离为L，则（II）步骤中弹簧的压缩量应该为$\frac{L}{200}$$\sqrt{\frac{h}{y}}$．

Answer 1

分析 （1）弹簧释放后，小球在弹簧的弹力作用下加速，弹簧与小球系统机械能守恒，小球离开桌面后，做平抛运动，根据平抛运动的知识可以求平抛的初速度，根据以上原理列式即可；
（2）先从实验数据得出弹簧的压缩量与小球的射程的关系；再结合第一小问中结论得到弹性势能与小球的射程的关系，最后综合出弹簧的弹性势能E_P与弹簧长度的压缩量x之间的关系．
（3）根据（1）中推导公式可求出对应的弹性势能，再根据（2）关系式可求得对应的压缩量．

解答 解：（1）小球射出桌面后，做平抛运动，在水平方向上有s=vt，在竖直方向上有h=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$，联立可得v=s$\sqrt{\frac{g}{2h}}$．
运动过程中机械能守恒定律，故有E_P=$\frac{1}{2}$mv²=$\frac{mg{s}^{2}}{4h}$，释放小球前弹簧的弹性势能表达式为E_P=$\frac{mg{s}^{2}}{4h}$；
（2）从数据中可以s=200x，因为E_P=$\frac{mg{s}^{2}}{4h}$，所以弹簧弹性势能与弹簧压缩量x之间的关系式应为：
E_P=$\frac{1{0}^{4}mg{x}^{2}}{h}$
（3）因为E_P=$\frac{mg{s}^{2}}{4h}$，小球释放前压缩弹簧的弹性势能为：
E_P=$\frac{mg{L}^{2}}{4y}$
联立得（II）步骤中弹簧的压缩量应该为x=$\frac{L}{200}$$\sqrt{\frac{h}{y}}$
故答案为：（1）$\frac{mg{s}^{2}}{4h}$； （2）$\frac{1{0}^{4}mg{x}^{2}}{h}$； （3）$\frac{L}{200}$$\sqrt{\frac{h}{y}}$．

点评 该题首先是考察了平抛运动的应用，解决关于平抛运动的问题常用的方法是沿着水平和竖直两个方向进行分解，运用各方向上的运动规律进行解答．利用x与s之间的关系求出弹簧弹性势能与弹簧压缩量x之间的关系式．考察了在现有知识的基础上对实验改装后的情况进行分析求解，考察了同学们的应变能力．还考察了对实验误差的分析能力．