Question

5．假设在半径为R的某天体上发射一颗该天体的卫星，若这颗卫星距该天体表面的高度为h，测得在该处做圆周运动的周期为T₁，则该天体的质量为$\frac{4{π}^{2}{（R+h）}^{3}}{G{T}_{1}^{2}}$，若它贴着该天体的表面做匀速圆周运动的周期为T₂，则该天体的密度为$\frac{3π}{G{T}_{2}^{2}}$．

Answer 1

分析 根据万有引力提供向心力求出天体的质量，结合天体的体积求出天体的密度．

解答 解：若这颗卫星距该天体的表面的高度为h，测得在该处做圆周运动的周期为T₁，
根据$G\frac{Mm}{{（R+h）}^{2}}=m（R+h）\frac{4{π}^{2}}{{T}_{1}^{2}}$得，
天体的质量M=$\frac{4{π}^{2}{（R+h）}^{3}}{G{T}_{1}^{2}}$．
它贴着该天体的表面做匀速圆周运动的周期为T₂，根据$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mR\frac{4{π}^{2}}{{T}_{2}^{2}}$得，天体的质量M=$\frac{4{π}^{2}{R}^{3}}{G{T}_{2}^{2}}$．
则天体的密度$ρ=\frac{M}{V}=\frac{\frac{4{π}^{2}{R}^{3}}{G{T}_{2}^{2}}}{\frac{4π{R}^{3}}{3}}=\frac{3π}{G{T}_{2}^{2}}$．
故答案为：$\frac{4{π}^{2}{（R+h）}^{3}}{G{T}_{1}^{2}}$，$\frac{3π}{G{T}_{2}^{2}}$

点评 解决本题的关键掌握万有引力提供向心力这一理论，结合轨道半径和周期求解中心天体的质量．