Question

1．如图（甲）为小型旋转电枢式交流发电机的原理图，其矩形线圈在匀强磁场中绕垂直于磁场方向的固定轴OO′按如图所示方向匀速转动，线圈的匝数n=100、电阻r=10Ω，线圈的两端经集流环与电阻R连接，电阻R=90Ω，与R并联的交流电压表为理想电表．在t=0时刻，线圈平面与磁场方向平行，穿过每匝线圈的磁通量Φ随时间t按图（乙）所示正弦规律变化．（取π=3.14）求：
（1）交流发电机产生的电动势的最大值；
（2）从t=0时刻开始计时，线圈转过60°时线圈中感应电流瞬时值及回路中的电流方向；
（3）电路中交流电压表的示数；
（4）从图示位置转过90°，通过线圈的电量？整个回路的焦耳热？

Answer 1

分析 （1）交流发电机产生电动势的最大值E_m=nBSω，根据Φ-t图线得出周期T以及角速度．从而求出感应电动势的最大值．
（2）图中是以垂直于中性面开始计时的，所以感应电动势的瞬时表达式：e=E_mcos（ωt），根据i=$\frac{e}{R+r}$求得感应电流的瞬时表达式，代入即可求得大小，判断方向
（3）根据闭合电路的欧姆定律求得电压，是有效值
（4）根据$q=n\frac{△∅}{R+r}$求得通过线圈的电荷量，根据Q=I²（R+r）t求出产生的焦耳热．

解答 解：（1）由φ-t图线可知：φ_m=2.0×10 ^-2Wb，T=6.28×10 ^-2s
角速度为$ω=\frac{2π}{T}=\frac{2×3.14}{6.28}=1rad/s$
所以，E_m=$\frac{2πn{φ}_{m}ω}{T}=200V$
（2）产生的感应电动势的瞬时表达式为e=200cos100t                                  
感应电流的瞬时表达式为 i=$\frac{e}{R+r}$=2cos100t
i=2cos60°=1A                                     
电流方向abcda                                     
（3）电动势的有效值 E=$\frac{{E}_{m}}{\sqrt{2}}=100\sqrt{2}$ V
由闭合电路的欧姆定律，电路中电流的有效值为
I=$\frac{E}{R+r}=\frac{100\sqrt{2}}{90+10}A=\sqrt{2}A$
交流电压表的示数为U=I R=90$\sqrt{2}$V（1分）               
（4）$q=n\frac{△∅}{{R}_{总}}$=0.02C
整个回路中产生的焦耳热为Q=I²（R+r）t=3.14J                                             
答：（1）交流发电机产生的电动势的最大值为200V；
（2）从t=0时刻开始计时，线圈转过60°时线圈中感应电流瞬时值为1A，回路中的电流方向abcda；
（3）电路中交流电压表的示数为90$\sqrt{2}$；
（4）从图示位置转过90°，通过线圈的电量为0.02C，整个回路的焦耳热为3.14J

点评 解决本题的关键知道正弦式交流电峰值的表达式E_m=nBSω，以及知道峰值与有效值的关系．