Question

2．牛顿在研究太阳对行星的引力的规律时，得出了F∝$\frac{m}{{r}^{2}}$这一关系式，其推导过程中用到的等式有（　　）

• A． F=m$\frac{{v}^{2}}{r}$
• B． x=v₀t
• C． $\frac{{r}^{3}}{{T}^{2}}$=k
• D． v=$\frac{2πr}{T}$

Answer 1

分析 行星绕太阳能做圆周运动，是由引力提供向心力来实现的．再由开普勒第三定律可推导出万有引力定律．

解答 解：设行星的质量为m，太阳质量为M，行星绕太阳做匀速圆周运动的轨道半径为r，公转周期为T，太阳对行星的引力为F．
太阳对行星的引力提供行星运动的向心力为：F=mr（$\frac{2π}{T}$）²=$\frac{4{π}^{2}m}{{T}^{2}}$r；
根据开普勒第三定律$\frac{{r}^{3}}{{T}^{2}}$=k
故F=$\frac{4{π}^{2}mk}{{r}^{2}}$
根据牛顿第三定律，行星和太阳间的引力是相互的，太阳对行星的引力大小与行星的质量成正比，反过来，行星对太阳的引力大小与也与太阳的质量成正比．所以太阳对行星的引力F∝$\frac{Mm}{{r}^{2}}$
写成等式有F=G$\frac{Mm}{{r}^{2}}$（G为常量），故ACD正确，B错误；
故选：ACD．

点评 解决本题的关键能够建立正确的模型，运用牛顿第二定律、第三定律、开普勒第三定律进行推导，及匀速圆周运动的线速度表达式．