Question

1．如图所示，两足够长平行光滑的金属导轨MN、PQ相距为L，导轨平面与水平面夹角为α=30°，导轨电阻不计．磁感应强度为B的匀强磁场垂直导轨平面斜向上，长为L的金属棒ab垂直于MN、PQ放置在导轨上，且始终与导轨接触良好，金属棒的质量为m、电阻为R．两金属导轨的上端连接右侧电路，电路中R₂为一电阻箱，已知灯泡的电阻R_L=4R，定值电阻R₁=2R，调节电阻箱使R₂=12R，重力加速度为g，闭合开关S，现将金属棒由静止释放，求：

（1）金属棒下滑的最大速度v_m；
（2）当金属棒下滑距离为s₀时速度恰好达到最大，则金属棒由静止开始下滑2s₀的过程中，整个电路产生的电热；
（3）改变电阻箱R₂的值，当R₂为何值时，金属棒达到匀速下滑时R₂消耗的功率最大．

Answer 1

分析 （1）金属棒ab先加速下滑，加速度减小，后匀速下滑，速度达到最大．由欧姆定律、感应电动势和安培力公式推导出安培力的表达式，根据平衡条件求解最大速度．
（2）金属棒由静止开始下滑2s₀的过程中，重力和安培力对棒做功，棒的重力势能减小转化为棒的动能和电路的内能，根据能量守恒列式可求出整个电路中产生的总电热．
（3）金属棒匀速下滑时受力平衡，根据平衡条件得到通过ab棒的电流，根据欧姆定律得到通过R₂的电流，由公式P=UI得到功率与电阻的关系式，运用数学知识求极值，并确定出条件．

解答 解：（1）当金属棒匀速下滑时速度最大，达到最大时有：mgsinα=F_安
又安培力为：F_安=BIL 
感应电流为：I=$\frac{BL{v}_{m}}{{R}_{总}}$
其中R_总=6R 
所以联立得：mgsinα=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{m}}{6R}$       
解得最大速度为：v_m=$\frac{3mgR}{{B}^{2}{L}^{2}}$
（2）由动能定理得：W_G-Q=$\frac{1}{2}$mv_m²  
得放出的电热为：Q=2mgs₀sinα-$\frac{1}{2}$mv_m²  
代入上面的v_m值，可得：Q=mgs₀-$\frac{9{m}^{3}{g}^{2}{R}^{2}}{2{B}^{4}{L}^{4}}$　          
（3）R₂上消耗的功率为：P₂=$\frac{{U}_{2}}{{R}_{2}}$
其中：U=IR_并=$\frac{BLv{R}_{并}}{3R+{R}_{并}}$，R_并=$\frac{4R{R}_{2}}{4R+{R}_{2}}$
又：mgsinα=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{3R+{R}_{并}}$
解得：P₂=$\frac{{m}^{2}{g}^{2}si{n}^{2}α}{{B}^{2}{L}^{2}}$×$\frac{16{R}^{2}{R}_{2}}{（4R+{R}_{2}）^{2}}$=$\frac{{m}^{2}{g}^{2}si{n}^{2}α}{{B}^{2}{L}^{2}}$×$\frac{16{R}^{2}}{\frac{16{R}^{2}}{{R}_{2}}+8R+{R}_{2}}$
当R₂=R_L=4R时，R₂消耗的功率最大，最大功率为：
P_2m=$\frac{{m}^{2}{g}^{2}R}{4{B}^{2}{L}^{2}}$
答：（1）金属棒下滑的最大速度v_m为$\frac{3mgR}{{B}^{2}{L}^{2}}$．
（2）金属棒由静止开始下滑2s₀的过程中，整个电路产生的电热为mgs₀-$\frac{9{m}^{3}{g}^{2}{R}^{2}}{2{B}^{4}{L}^{4}}$；
（3）改变电阻箱R₂的值，当R₂为4R时，金属棒达到匀速下滑时R₂消耗的功率最大．

点评 本题考查了电路知识、电磁感应知识，要明确速度最大的条件，正确分析力与运动的关系、功与能的关系，第3问运用数学方法求极值，对数学知识的能力要求较高，要加强训练，提高解题能力．