Question

20．如图所示，光滑斜面的倾角α=30°，在斜面上放置一矩形线框abcd，ab边的边长l₁=1m，bc边的边长l₂=0.6m，线框的质量m=1kg，电阻R=0.1Ω，线框与绝缘细线相连，现用F=20N的恒力通过定滑轮向下拉细线并带动线框移动（如图所示），斜面上ef线（ef∥gh）的右方有垂直斜面向上的匀强磁场，磁感应强度B=0.5T，如果线框从静止开始运动，进入磁场最初一段时间做匀速运动，ef和gh的距离s=18.6m，取g=10m/s²，求：
（1）线框进入磁场前的加速度和线框进入磁场时做匀速运动的速度v；
（2）简要分析线框在整个过程中的运动情况并求出ab边由静止开始到运动到gh线处所用的时间t；
（3）ab边运动到gh线处的速度大小和在线框由静止开始到运动到gh线的整个过程中产生的焦耳热．

Answer 1

分析 （1）对线框进入磁场时进行受力分析，尤其注意安培力的大小与方向，然后根据平衡条件列方程求解．
（2）弄清线框的运动情况，然后根据相应规律求解．线框开始做初速度为零的匀加速直线运动，然后匀速运动进入磁场，当完全进入时若磁场不变则感应电流为零不受安培力，若磁场变化，整个线框所受安培力为零，因此线框将做匀加速直线运动，加速度与开始时相同．
（3）根据速度时间关系求得ab棒到达gh时的速度大小，根据功能关系可求解整个过程中产生的焦耳热．

解答 解：（1）线框进入磁场前在拉力和重力及支持力作用下向上加速运动，根据牛顿第二定律有：
F_合=F-mgsinα=ma
所以线框的加速度$a=\frac{F}{m}-gsinα=\frac{20}{1}-10×\frac{1}{2}=15m/{s}^{2}$
所以线框进入磁场前运动距离${x}_{1}=\frac{{v}^{2}}{2a}=\frac{{6}^{2}}{2×15}m=1.2m$
因为线框进入磁场的最初一段时间做匀速运动，
所以线框abcd受力平衡F=mgsinα+F_A
ab边进入磁场切割磁感线，产生的电动势E=Bl₁v
形成的感应电流I=$\frac{E}{R}$=$\frac{B{l}_{1}v}{R}$受到的安培力F_A=BIl₁
F=mgsinα+$\frac{{B}^{2}{l}_{1}^{2}v}{R}$代入数据解得v=6m/s，
故线框进入磁场时匀速运动的速度v=6m/s．
（2）线框abcd进入磁场前时，做匀加速直线运动；
进磁场的过程中，做匀速直线运动；
进入磁场后到运动到gh线，仍做匀加速直线运动．
线框进入磁场前，线框仅受到细线的拉力F、斜面的支持力和线框重力，
由牛顿第二定律得：F-mgsinα=ma
线框进入磁场前的加速度：a=$\frac{F-mgsinα}{m}$=15m/s²
进磁场前线框的运动时间为：${t}_{1}=\frac{v}{a}=\frac{6}{15}s=0.4s$
进磁场过程中匀速运动时间：${t}_{2}=\frac{{l}_{2}}{v}=\frac{0.6}{6}s=0.1s$
线框完全进入磁场后线框受力情况同进入磁场前，
所以该阶段的加速度仍为：a=15m/s²
$s-{l}_{2}=v{t}_{3}+\frac{1}{2}a{t}_{3}^{2}$
解得：t₃=1.2s
故ab边由静止开始运动到gh线所用的时间为：t=t₁+t₂+t₃=1.7s．
（3）ab运动到gh处的速度大小v′=v+at₃=6+15×1.2m/s=24m/s
由题意知线框开始运动至ab边到达gh处时线框上升的距离x=x₁+s=1.2+18.6m=19.8m
整个过程中根据功能关系知：Fx=mgxsin$α+Q+\frac{1}{2}mv{′}^{2}$
整个运动过程产生的焦耳热Q=Fx-mgxsin30°-$\frac{1}{2}mv{′}^{2}$=20×$19.8-1×10×19.8×\frac{1}{2}-\frac{1}{2}×1×2{4}^{2}J$=9J
故整个过程产生的焦耳热为9J．
答：（1）线框进入磁场前的加速度为15m/s²，线框进入磁场时做匀速运动的速度v=6m/s；
（2）线框进入磁场前做产加速运动，进入磁场后匀速运动完全进入磁场后匀加速运动，ab边由静止开始到运动到gh线处所用的时间t=1.7s；
（3）ab边运动到gh线处的速度大小为24m/s，在线框由静止开始到运动到gh线的整个过程中产生的焦耳热为9J．

点评 对于电磁感应的复杂问题一定做好以下四个方面的分析：电流分析、受力分析（尤其是安培力）、运动分析、功能关系分析（尤其是克服安培力做功情况分析）．