Question

如图所示，直角坐标平面Oxy在竖直平面内，y轴竖直向上，在第一象限内分布着方向竖直向上的匀强电场(不包含y轴)，场强大小用E₁，表示，在第二象限内分布着方向沿x轴负方向的匀强电场，场强大小用E₂表示。用长度为L的绝缘细线将质量为m、电荷量为+q的带电小球(可看成质点)悬挂在P点，P点在y轴上，坐标为((0, 2L)，在P点正下方与P点距离小于L的某点Q钉一钉子。现用外力把小球拉到左侧与P等高处，细线被拉直与x轴平打，由静止释放，小球运动到最低点时绳恰被拉断，然后进入第一象限，经过时间，立即在第一象限内再加垂直于Oxy平面向里的匀强磁场(图中未画出)，磁感应强度为，再经过时间t_o，=撤去匀强磁场。已知E₁=，E₂=，细线能够承受的最大拉力是F₀=3mg。(结果用g、L、m表示)求：

(1)小球在下摆过程中的最大速度v_m=?

(2)Q点与P点之间的距离h=?

(3)小球在第一象限运动的时间t=? 小球离开第一象限的位置坐标?

Answer 1

解：

(1) 小球在向下摆动过程中，设合力与竖直方向的夹角为θ，当速度方向与合力方向垂直时，即细线与竖直方向的夹角为θ时，速度最大，设为v_m，则

 …………………（2分）

解得，θ=37^°

由动能定理有，有

 ………………………（2分）

解得      ………………………（1分）

（2）设小球运动到Ｐ点正下方时速度为v₁，由动能定理有，有

   ………………………（2分）

解得

小球运动到最低点时，细线被钉子挡住，做圆周运动的半径为r，则

根据牛顿第二定律，有

 ………………………（1分）

   ………………………（1分）

解得 ………………………（1分）

（3）绳被拉断，小球进入第一象限，由于qE₁=mg，所以小球沿水平方向做匀速直线运动。经过时间t₀，加上匀强磁场后，小球做匀速圆周运动，设半径为R，周期为T，则

   ………………………（1分）

   ………………………（1分）

解得 ，

所以，   ………………………（1分）

即小球做圆周运动时间是四分之三个周期，撤去匀强磁场后，小球向下做匀速直线运动穿过x轴，设撤去匀强磁场时，小球的位置与x轴的距离是y，运动时间为t₁，则

 ………………………（1分）

   ………………………（1分）

在第一象限的总时间………………………（1分）

  …………（1分）

设小球离开x轴的坐标为（x，0），则

  …………（1分）

解得，小球离开第一象限的位置坐标是（ …（1分）