Question

15．一宇航员乘坐自动航天飞行器到达一类似地球的星球表面进行科学考察，科考任务结束后，他将星球的自转周期为18小时、同一物块在星球两极时的重力为在星球赤道时重力的$\frac{27}{26}$倍的两个数据星球输入飞行器的航程自动仪中．飞行器自动生成运行轨道，并按此轨道由星球表面P点返回到同步轨道．其中P点和Q点为切点．请问飞行器从椭圆轨道上的P点到Q点需要多长时间？

Answer 1

分析 在星球的两极时重力等于万有引力．在星球的赤道，物体的重力等于万有引力与向心力之差．同步卫星的向心力由万有引力提供，由这三个关系分别列式，求同步卫星的轨道半径与星球半径的关系，再由开普勒第三定律求出飞行器运动的周期，即可得到所求时间．

解答 解：设该星球的半径为R，质量为M，同步卫星的周期为T，轨道半径为r，飞行器的周期为T′．
在星球的两极有 G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=mg
在星球的赤道有 G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=mg′+m$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$R
据题有 mg′=$\frac{26}{27}$mg
联立以上三式得：$\frac{1}{27}$•G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=m$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$R
对于同步卫星有：G$\frac{Mm′}{{r}^{2}}$=m′$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$r
联立以上二式解得 r=3R
根据开普勒第三定律得 $\frac{（\frac{R+r}{2}）^{3}}{{r}^{3}}$=$\frac{T{′}^{2}}{{T}^{2}}$
可得 T′=$\frac{2\sqrt{6}}{9}$T=$\frac{2\sqrt{6}}{9}$×18h=4$\sqrt{6}$h
故飞行器从椭圆轨道上的P点到Q点需要的时间为 t=$\frac{T′}{2}$=2$\sqrt{6}$h
答：飞行器从椭圆轨道上的P点到Q点需要的时间为2$\sqrt{6}$h．

点评 本题的关键要之处是根据重力与万有引力的关系、万有引力与向心力的关系求同步卫星的轨道半径，明确飞行器由P点到Q点所需的时间应是椭圆运动的半个周期．