Question

7．一辆汽车的额定功率为80kW，运动中所受的阻力恒为4.0×10³N，汽车质量为4.0×10³kg，沿水平路面行驶．汽车运动过程中始终未超过额定功率．求：
（1）汽车运动的最大速度；
（2）汽车以额定功率行驶时，当车速为36km/h时汽车的加速度；
（3）若汽车以（2）中的加速度先匀加速启动，当达到额定功率后以额定功率行驶，则启动1min的时间内牵引力做的功（此时汽车以最大速度匀速行驶）

Answer 1

分析 （1）当汽车以额定功率行驶时，随着汽车速度的增加，汽车的牵引力会逐渐减小，合力减小，汽车的加速度减小，直到最后牵引力和阻力相等，开始做匀速运动，到达最大速度．由P=Fv和平衡条件求最大速度．
（2）由P=Fv求出牵引力，再由牛顿第二定律求加速度．
（3）汽车以恒定加速度启动时功率不断增大，达到额定功率后做变加速运动，分析汽车的运动情况，再求解牵引力做功．

解答 解：（1）当汽车的牵引力和阻力相等时，汽车达到最大速度，
即 F=f=4.0×10³N
由P=Fv可得，汽车最大速度为
   v_m=$\frac{P}{F}$=$\frac{P}{f}$=$\frac{80000}{4×1{0}^{3}}$m/s=20 m/s
（2）当车速为 v=36km/h=10m/s时．由P=Fv得：
此时汽车的牵引力为
   F=$\frac{P}{v}$=$\frac{80000}{10}$=8000N，
所以此时的加速度大小为
  a=$\frac{F-f}{m}$=$\frac{8000-4000}{4000}$m/s²=1m/s²
（3）当汽车以1m/s²的加速度匀加速启动时，由F′-f=ma得：
可得此时的牵引力的大小为
  F′=f+ma=4000+4000×1=8000N
由P=Fv可得，匀加速运动的最大速度为
  v=$\frac{P}{F′}$=$\frac{80000}{8000}$m/s=10m/s
匀加速运动的时间 t=$\frac{v}{a}$=10s
所以启动1min的时间内汽车先匀加速运动10s，后50s内汽车的功率不变
在前10s内汽车的位移为 x=$\frac{v}{2}t$=$\frac{10}{2}×10$m=50m，牵引力做功 W₁=F′x=8000×50J=4×10⁵J
在后50s内牵引力做功 W₂=Pt′=8×10⁴×50J=4×10⁶J
故总功为 W=W₁+W₂=4.4×10⁶J
答：
（1）汽车运动的最大速度是20m/s；
（2）汽车以额定功率行驶时，当车速为36km/h时汽车的加速度是1m/s²．
（3）启动1min的时间内牵引力做的功是4.4×10⁶J．

点评 本题考查的是汽车的启动方式，对于汽车的两种启动方式：恒定加速度启动和恒定功率启动，对于每种启动方式的汽车运动的过程一定要熟悉，要掌握临界条件，并能熟练运用．