Question

15．如图所示，一倾斜的光滑轨道底部接一个半径为R的圆形光滑轨道．质量为m的小球沿斜轨道由一定的高度从静止开始下滑，滑到底端时与静止的质量为M的球发生正碰．碰撞时没有机械能损失，碰撞后的M刚好能越过圆轨道的顶端而不离开轨道，m被反弹回去．求：
（1）开始时小球m离最低点的高度h；
（2）小球m碰撞后沿斜面上升的高度h′
（3）$\frac{h′}{h}$？

Answer 1

分析 （1）M刚好能越过圆轨道的顶端而不离开轨道则在最高点受到的重力恰好提供向心力，由牛顿第二定律即可求出M的速度；然后由机械能守恒求出M在最低点的速度；m与M碰撞的过程中动量守恒，机械能也守恒，由此即可求出碰撞前m的速度，最后由机械能守恒求出开始时小球的高度h；
（2）结合（1）的公式即可求出碰撞后小球m的速度，然后由机械能守恒即可求出h′；
（3）根据以上的结果即可求出．

解答 解：（1）M刚好能越过圆轨道的顶端而不离开轨道则在最高点受到的重力恰好提供向心力，由牛顿第二定律得：
$Mg=\frac{M{v}_{3}^{2}}{R}$
M由最低点到最高点的过程中机械能守恒，则：
$\frac{1}{2}M{v}_{2}^{2}=Mg•2R+\frac{1}{2}M{v}_{3}^{2}$
联立得：${v}_{2}=\sqrt{5gR}$
在最低点m与M碰撞的过程中水平方向的动量守恒，选取向右为正方向，设碰撞前m的速度为v₁，碰撞后m的速度为v₁′，M的速度为v₂，由动量守恒得：
mv₁=mv₁′+Mv₂
由于的弹性碰撞，则机械能守恒，得：
$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}=\frac{1}{2}mv{′}_{1}^{2}+\frac{1}{2}M{v}_{2}^{2}$
联立以上方程得：${v}_{1}=\frac{M+m}{2m}•\sqrt{5gR}$，${v}_{1}′=\frac{m-M}{2m}•\sqrt{5gR}$
小球下降的过程中机械能守恒，所以：$mgh=\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$
所以：h=$\frac{5（M+m）^{2}R}{8{m}^{2}}$
（2）小球被反弹后上升的过程中机械能也守恒，则：$mgh′=\frac{1}{2}mv{′}_{1}^{2}$
所以：h′=$\frac{5{（M-m）}^{2}R}{8{m}^{2}}$
（3）由以上的结果可知，$\frac{h′}{h}$=$（\frac{M-m}{M+m}）^{2}$
答：（1）开始时小球m离最低点的高度是$\frac{5（M+m）^{2}R}{8{m}^{2}}$；
（2）小球m碰撞后沿斜面上升的高度是$\frac{5{（M-m）}^{2}R}{8{m}^{2}}$；
（3）$\frac{h′}{h}$是$（\frac{M-m}{M+m}）^{2}$

点评 该题涉及竖直平面内的圆周运动、机械能守恒与动量守恒定律，涉及的过程也比较多，在解答的过程中要注意对各过程的分析，明确各个过程对应的物理规律，然后找出合适的公式即可．