Question

20．某人站在某星球上以速度v₁竖直上抛一物体，经t秒后物体落回手中，已知该星球半径为R，万有引力常量为G，现将此物沿该星球表面平抛，要使其不再落回地球，则：
（1）抛出的速度V₂至少为多大？
（2）该星球的质量M为多大？

Answer 1

分析 根据竖直上抛运动求得星球表面的重力加速度，再根据万有引力等于重力并提供近地卫星的向心力求得卫星的线速度和该星球的质量．

解答 解：（1）根据竖直上抛运动规律可知，取竖直向上为正方向，则a=-g，根据位移时间关系有：
x=${v}_{1}t-\frac{1}{2}g{t}^{2}$，当位移为0时物体回到出发点，所以有
t=$\frac{2v}{g}$
可得重力加速度g=$\frac{2v}{t}$
平抛的最小速度为该星球的第一宇宙速度，根据万有引力提供向心力得：
$\frac{GMm}{{R}^{2}}=\frac{m{v}_{2}^{2}}{R}$
在星球表面重力等于万有引力故有：$G\frac{mM}{{R}^{2}}=mg$
所以：${v}_{2}=\sqrt{gR}=\sqrt{\frac{2{v}_{1}R}{t}}$
（2）在星球表面重力等于万有引力故有：$G\frac{mM}{{R}^{2}}=mg$
可得星球的质量M=$\frac{g{R}^{2}}{G}$=$\frac{2{v}_{1}{R}^{2}}{tG}$
答：（1）抛出的速度V₂至少为$\sqrt{\frac{2{v}_{1}R}{t}}$；
（2）该星球的质量M为$\frac{2{v}_{1}{R}^{2}}{tG}$．

点评 根据万有引力提供圆周运动向心力和万有引力与重力相等入手求解，掌握竖直上抛运动规律．