Question

1．如图（a）所示，在倾角θ=30°的光滑固定斜面上有一劲度系数k=100N/m的轻质弹簧，弹簧下端固定在垂直于斜面的挡板上，弹簧上端拴接一质量m=2kg的物体，初始时物体处于静止状态．取g=10m/s²．

（1）求此时弹簧的形变量x₀；
（2）现对物体施加沿斜面向上的拉力F，拉力F的大小与物体位移x的关系如图（b）所示，设斜面足够长．
a．分析说明物体的运动性质并求出物体的速度v与位移x的关系式；
b．若物体位移为0.1m时撤去拉力F，在图（c）中做出此后物体上滑过程中弹簧弹力f的大小随形变x′的函数图象；并且求出此后物体沿斜面上滑的最大距离x_m以及此后运动的最大速度v_m．

Answer 1

分析 （1）对物体受力分析，根据共点力的平衡条件可求得弹簧的形变量；
（2）a、根据牛顿第二定律可求得力与位移之间的表达式，结合F-x图象可求得加速度的表达式，即可明确运动情况；
b、根据弹力与形变量成正比，则可以得出对应的图象；根据图象规律可分析克服弹力所做的功，则可求得最大速度．

解答 解：（1）初始状态时物体处于平衡状态，则有：
kx₀=mgsinθ
代入数据解得x₀=0.1m；
（2）a．设物体运动微小位移x的过程中加速度为a，根据牛顿第二定律有：
F+k（x₀-x）-mgsinθ=ma
根据F-x图象可知，F=4.8+100x
联立解得：a=2.4m/s²；
弹簧发生拉伸形变时，上述结论仍成．可见，物体做加速度a=2.4m/s²的加速直线运动．
根据运动学公式可和物体的速度大小v随x变化的表达式为：
v²=2ax
代入数据解得：v₂=4.8x
b．物体位移x=0.1m后撤去拉力，此后物体上滑过程中弹力f随形变量x′的图象如下图所示；

物体上滑过程中克服弹力所做的功对应右上图中的面积，即W_f=$\frac{1}{2}$kx_m²
撤去拉力后，在上滑过程中根据动能定理有：
-mgxmsinθ-W_f=0-$\frac{1}{2}$mv²
联立以上可得，x_m=0.04m；
物体再次回到初始位置时速度最大，对于全过程只有拉力F对物体做功
拉力F对图象做的功为F-x图象下的面积，则有：
W_F=$\frac{4.8+14.8}{2}$×0.1=0.98J；
根据动能定理可得：
W_F=$\frac{1}{2}$mv_m²
联立解得：v_m=0.7$\sqrt{2}$m/s=0.99m/s；
答：（1）此时弹簧的形变量x₀为0.1m
（2）a、物体做匀加速直线运动，物体的速度v与位移x的关系式为v₂=4.8x
b、图象如图所示；此后物体沿斜面上滑的最大距离x_m为0.04m；此后运动的最大速度v_m为0.99m/s．

点评 本题考查动能定理及胡克定律的应用，解题的关键在于图象规律的迁移应用，要求能明确图象性质，知道如何用图象的面积来表示功；本题难度较大．