Question

13．土星拥有许多卫星，至目前为止所发现的卫星数已经有30多个．土卫一是土星8个大的、形状规则的卫星中最小且最靠近土星的一个，直径392公里，与土星平均距离约1.8×10⁵公里，公转周期为23小时，正好是土卫三公转周期的一半，这两个卫星的轨道近似于圆形．求：
（1）土卫三的轨道半径（已知：$\root{3}{2}$=1.26，结果保留两位有效数字）；
（2）土星的质量（结果保留一位有效数字）．

Answer 1

分析 （1）根据开普勒第三定律求出土卫三的轨道半径．
（2）根据万有引力提供向心力，结合轨道半径和周期求出土星的质量．

解答 解：（1）根据开普勒第三定律$\frac{R^3}{T^2}=k$，可知土卫一的轨道半径r₁、周期T₁与土卫三的轨道半径r₂、周期T₂满足：$\frac{{{R_1}^3}}{{{T_1}^2}}=\frac{{{R_2}^3}}{{{T_2}^2}}$，
所以${R_2}=\root{3}{{\frac{{{T_2}^2}}{{{T_1}^2}}}}{R_1}={（\root{3}{2}）^2}×1.8×{10^5}=2.9×{10^5}km$．
（2）根据土卫一绕土星运动有：$G\frac{Mm}{{{R}_{1}}^{2}}=m{R}_{1}\frac{4{π}^{2}}{{{T}_{1}}^{2}}$
可得土星质量：$M=\frac{4×3.1{4}^{2}×（1.8×1{0}^{8}）^{3}}{6.67×1{0}^{-11}×（23×3600）^{2}}$=5×10²⁶kg．
答：（1）土卫三的轨道半径为2.9×10⁵km
（2）土星的质量为5×10²⁶kg．

点评 解决本题的关键掌握万有引力提供向心力这一重要理论，并能灵活运用，难度不大．